8-21证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同

步骤 1：高斯定理的应用
根据高斯定理，对于任意闭合曲面，通过该曲面的电通量等于该曲面内部所有电荷的代数和除以介电常数。对于无限大的平行平面带电导体板，我们可以选择一个垂直于导体板的闭合柱面作为高斯面。

步骤 2：相向两面电荷面密度的关系
设两个导体板分别为A和B，它们的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为${\sigma }_{1}$, ${\sigma }_{2}$, ${\sigma }_{3}$, ${\sigma }_{4}$。取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，通过该高斯面的电通量为零，因为导体内部的电场强度为零。根据高斯定理，有
$({\sigma }_{2}+{\sigma }_{3})\Delta S=0$，
所以 ${\sigma }_{2}+{\sigma }_{3}=0$，
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

步骤 3：相背两面电荷面密度的关系
在A内部任取一点P，其场强为零，这是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
$\dfrac {{\sigma }_{1}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{2}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{3}}{2{\varepsilon }_{0}}-\dfrac {{\sigma }_{4}}{2{\varepsilon }_{0}}=0$，
又因为 ${\sigma }_{2}+{\sigma }_{3}=0$，
所以 ${\sigma }_{1}={\sigma }_{4}$，
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同。