在一反应器中常压等温下进行下列液相反应：[ A + B arrow R r_r = 2c_A, , (kmol)/((m)^3 cdot (h)) ][ 2A arrow P r_p = 0.5c_A^2, , (kmol)/((m)^3 cdot (h)) ]其中, r_r 、 r_p 分别表示产物 R 及 P 的生成速率。反应用的原料为 A 与 B 的混合物, 其中 A 为 2 , (kmol)/(m)^3 , C_(R0) = C_(P0) = 0 。试计算 A 的转化率达到 90% 时所需的反应时间。此时目的的收率为多少?

本题主要考查化学反应动力学中反应时间和产物收率的计算。解题的关键在于根据给定的反应速率方程，通过物料衡算建立浓度与时间的关系，进而求出反应时间和产物收率。

1. 计算反应时间
   • 首先，根据反应速率的定义，A 的消耗速率$r_{A}$等于 R 的生成速率$r_{R}$加上 2 倍的 P 的生成速率$r_{P}$（因为生成 1 摩尔 P 需要消耗 2 摩尔 A），即：
     $r_{A}=r_{R}+2r_{P}=2c_{A}+2\times0.5c_{A}^{2}=2c_{A}+c_{A}^{2}$
   • 然后，根据物料衡算，$-\frac{dc_{A}}{dt}=r_{A}$，即$-\frac{dc_{A}}{dt}=2c_{A}+c_{A}^{2}$。
   • 对该式进行分离变量：
     $\frac{dc_{A}}{c_{A}(2 + c_{A})}=-dt$
   • 对等式左边进行部分分式分解：
     $\frac{dc_{A}}{c_{A}(2 + c_{A})}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
   • 对上式两边进行积分，积分区间为从初始浓度$c_{A0}=2$到某一时刻的浓度$c_{A}$，时间从 0 到$t$：
     $\int_{c_{A0}}^{c_{A}}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}=-\int_{0}^{t}dt$
   • 计算积分：
     $\frac{1}{2}\left[\ln c_{A}-\ln(2 + c_{A})\right]_{c_{A0}}^{c_{A}}=-t$
     $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{c_{A}}{2 + c_{A}}\right)-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{c_{A0}}{2 + c_{A0}}\right)=-t$
   • 已知$c_{A0}=2$，代入上式可得：
     $\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2 + c_{A}}{2c_{A}}\right)=t$
   • 当 A 的转化率达到 90% 时，$c_{A}=c_{A0}(1 - X_{A})=2\times(1 - 0.9)=0.2$，代入上式可得：
     $t=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2 + 0.2}{2\times0.2}\right)=\frac{1}{2}\ln(5.5)\approx0.852\ h$
2. 计算产物 R 和 P 的浓度
   • 对于反应$A + B \rightarrow R$，根据物料衡算$c_{R}=c_{R0}+\int_{c_{A0}}^{c_{A}}r_{R}dt$，已知$c_{R0}=0$，$r_{R}=2c_{A}$，则：
     $c_{R}=\int_{c_{A0}}^{c_{A}}2c_{A}dt$
   • 由$t=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{2 + c_{A}}{2c_{A}}\right)$，对$t$求导可得$dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$，代入上式可得：
     $c_{R}=\int_{2}^{0.2}2c_{A}\times\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{R}=\int_{2}^{0.2}\left(1-\frac{c_{A}}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{R}=\int_{2}^{0.2}\left(1 - 1+\frac{2}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{R}=2\int_{2}^{0.2}\frac{1}{2 + c_{A}}dc_{A}$
     $c_{R}=2\left[\ln(2 + c_{A})\right]_{2}^{0.2}$
     $c_{R}=2\left(\ln(2 + 0.2)-\ln(2 + 2)\right)=2\ln\left(\frac{2.2}{4}\right)=2\ln\left(\frac{11}{20}\right)\approx1.1956\ kmol/m^{3}$
   • 对于反应$2A \rightarrow P$，根据物料衡算$c_{P}=c_{P0}+\frac{1}{2}\int_{c_{A0}}^{c_{A}}r_{P}dt$，已知$c_{P0}=0$，$r_{P}=0.5c_{A}^{2}$，则：
     $c_{P}=\frac{1}{2}\int_{c_{A0}}^{c_{A}}0.5c_{A}^{2}dt$
   • 同样代入$dt=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$可得：
     $c_{P}=\frac{1}{4}\int_{2}^{0.2}c_{A}^{2}\left(\frac{1}{c_{A}}-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{P}=\frac{1}{4}\int_{2}^{0.2}\left(c_{A}-\frac{c_{A}^{2}}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{P}=\frac{1}{4}\int_{2}^{0.2}\left(c_{A}-c_{A}+2-\frac{2}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{P}=\frac{1}{4}\int_{2}^{0.2}\left(2-\frac{2}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{P}=\frac{1}{2}\int_{2}^{0.2}\left(1-\frac{1}{2 + c_{A}}\right)dc_{A}$
     $c_{P}=\frac{1}{2}\left[c_{A}-\ln(2 + c_{A})\right]_{2}^{0.2}$
     $c_{P}=\frac{1}{2}\left[(0.2-\ln(2 + 0.2))-(2-\ln(2 + 2))\right]$
     $c_{P}=\frac{1}{2}\left(0.2-\ln(2.2)-2+\ln(4)\right)$
     $c_{P}=-\frac{4}{\frac{20}{11}} - 2\ln\left(\frac{20}{11}\right) + 4 = 0.6044\ kmol/m^{3}$
3. 计算目的产物 R 的收率
   • 目的产物 R 的收率$S$定义为生成 R 的物质的量与消耗 A 的物质的量之比，即：
     $S=\frac{c_{R}}{c_{A0}X_{A}}$
   • 已知$c_{A0}=2$，$X_{A}=0.9$，$c_{R}\approx1.1956$，代入上式可得：
     $S=\frac{1.1956}{2\times0.9}\approx66.4\%$