题目
如图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：(1)初始时刻的角加速度．(2)杆转过θ角时的角速度．
如图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求：
(1)
初始时刻的角加速度．
(2)
杆转过θ角时的角速度．
题目解答
答案
- (1)
32gl
- (2)
√3gsinθl
解析
步骤 1：计算初始时刻的角加速度
初始时刻，杆处于水平位置，重力对杆的力矩为最大。根据转动定律，力矩等于转动惯量乘以角加速度。对于细杆绕一端转动，其转动惯量为I = 1/3 * m * l^2。重力对杆的力矩为M = m * g * l/2，其中g为重力加速度。因此，初始时刻的角加速度α = M / I = (m * g * l/2) / (1/3 * m * l^2) = 3g / 2l。
步骤 2：计算杆转过θ角时的角速度
根据机械能守恒定律，杆在转动过程中，重力势能转化为动能。初始时刻，杆的重力势能为E_p = m * g * l/2，动能为0。当杆转过θ角时，重力势能为E_p' = m * g * l/2 * cosθ，动能为E_k = 1/2 * I * ω^2，其中ω为角速度。根据机械能守恒定律，E_p = E_p' + E_k，即m * g * l/2 = m * g * l/2 * cosθ + 1/2 * I * ω^2。将I = 1/3 * m * l^2代入，解得ω = √(3g(1 - cosθ) / l)。
初始时刻，杆处于水平位置，重力对杆的力矩为最大。根据转动定律，力矩等于转动惯量乘以角加速度。对于细杆绕一端转动，其转动惯量为I = 1/3 * m * l^2。重力对杆的力矩为M = m * g * l/2，其中g为重力加速度。因此，初始时刻的角加速度α = M / I = (m * g * l/2) / (1/3 * m * l^2) = 3g / 2l。
步骤 2：计算杆转过θ角时的角速度
根据机械能守恒定律，杆在转动过程中，重力势能转化为动能。初始时刻，杆的重力势能为E_p = m * g * l/2，动能为0。当杆转过θ角时，重力势能为E_p' = m * g * l/2 * cosθ，动能为E_k = 1/2 * I * ω^2，其中ω为角速度。根据机械能守恒定律，E_p = E_p' + E_k，即m * g * l/2 = m * g * l/2 * cosθ + 1/2 * I * ω^2。将I = 1/3 * m * l^2代入，解得ω = √(3g(1 - cosθ) / l)。