题目
质量为M 的均匀细棒，长为L，可绕过端点O的水平光滑轴在竖直面内转动，当棒竖直静止下垂时，有一质量为m 的小球飞来，垂直击中棒的中点。由于碰撞，小球碰后以初速度为零自由下落，而细棒碰撞后的最大偏角为q，求小球击中细棒前的速度值。
质量为M 的均匀细棒，长为L，可绕过端点O的水平光滑轴在竖直面内转动，当棒竖直静止下垂时，有一质量为m 的小球飞来，垂直击中棒的中点。由于碰撞，小球碰后以初速度为零自由下落，而细棒碰撞后的最大偏角为q，求小球击中细棒前的速度值。
题目解答
答案
解：$$\frac{mvL}{2}$$= 0 + $$\frac{m\omega l^2}{3}$$
$$\frac{1}{2}$$$$\frac{m\omega l^2}{3}$$= $$\frac{MgL}{2}$$$$(1-cosq)$$
联立解出
v = $$2M\sqrt{\frac{Lg(1-cosq)}{\sqrt3 m} }$$
解析
步骤 1：动量守恒
在碰撞过程中，由于没有外力矩作用，系统（小球和细棒）的角动量守恒。设小球击中细棒前的速度为v，碰撞后细棒的角速度为ω。根据角动量守恒定律，有：
$$mv\frac{L}{2} = \frac{1}{3}ML^2\omega$$
步骤 2：机械能守恒
在细棒从碰撞后开始摆动到最大偏角q的过程中，细棒的动能转化为重力势能。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}ML^2\omega^2 = Mg\frac{L}{2}(1-\cos q)$$
步骤 3：联立求解
将步骤1中的角速度ω代入步骤2中的机械能守恒方程，联立求解v。
在碰撞过程中，由于没有外力矩作用，系统（小球和细棒）的角动量守恒。设小球击中细棒前的速度为v，碰撞后细棒的角速度为ω。根据角动量守恒定律，有：
$$mv\frac{L}{2} = \frac{1}{3}ML^2\omega$$
步骤 2：机械能守恒
在细棒从碰撞后开始摆动到最大偏角q的过程中，细棒的动能转化为重力势能。根据机械能守恒定律，有：
$$\frac{1}{2}\frac{1}{3}ML^2\omega^2 = Mg\frac{L}{2}(1-\cos q)$$
步骤 3：联立求解
将步骤1中的角速度ω代入步骤2中的机械能守恒方程，联立求解v。