一弹簧振子沿x轴作简谐振动(弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点).已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m最大恢复力为Fm = 0.8 N,最大速度为vm = 0.8 m/s,又知t = 0的初位移为+0.2 m,且初速度与所选x轴方向相反.(1) 求振动能量;(2) 求此振动的表达式.

考查要点：本题主要考查简谐振动的能量计算和振动方程的建立，涉及振幅、角频率、初相位的确定。

解题思路：

1. 振动能量：简谐振动的总能量由最大弹性势能或最大动能决定，利用已知的最大恢复力和振幅直接计算。
2. 振动方程：通过振幅、角频率和初相位确定。角频率由最大速度与振幅的关系求出，初相位通过初始条件联立方程求解。

关键点：

• 能量公式：$E = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}F_m x_m$。
• 角频率公式：$\omega = \frac{v_m}{A}$。
• 初相位确定：利用初始位移和速度的符号联立方程求解。

(1) 求振动能量

确定弹性势能最大值

简谐振动的总能量等于最大弹性势能，公式为：
$E = \frac{1}{2}kA^2$
其中，$A = x_m = 0.4 \, \text{m}$，$k$为弹簧劲度系数。

求弹簧劲度系数

最大恢复力$F_m = kA$，代入已知$F_m = 0.8 \, \text{N}$：
$k = \frac{F_m}{A} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \, \text{N/m}$

计算总能量

将$k$和$A$代入能量公式：
$E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.4)^2 = 0.16 \, \text{J}$

(2) 求振动的表达式

确定角频率

最大速度$v_m = A\omega$，解得：
$\omega = \frac{v_m}{A} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \, \text{rad/s}$

确定初相位

振动方程为$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，初始条件：

1. $t = 0$时，$x = 0.2 \, \text{m}$：
   $0.4\cos\varphi = 0.2 \implies \cos\varphi = 0.5 \implies \varphi = \frac{\pi}{3} \, \text{或} \, \frac{5\pi}{3}$
2. 初速度$v = -A\omega\sin\varphi$为负：
   $-0.4 \cdot 2 \cdot \sin\varphi < 0 \implies \sin\varphi > 0$
   结合$\cos\varphi = 0.5$，得$\varphi = \frac{\pi}{3}$。

振动方程

代入$A = 0.4 \, \text{m}$，$\omega = 2 \, \text{rad/s}$，$\varphi = \frac{\pi}{3}$：
$x = 0.4\cos(2t + \frac{\pi}{3})$