题目
一弹簧振子沿x轴作简谐振动(弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点).已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m最大恢复力为Fm = 0.8 N,最大速度为vm = 0.8 m/s,又知t = 0的初位移为+0.2 m,且初速度与所选x轴方向相反.(1) 求振动能量;(2) 求此振动的表达式.
一弹簧振子沿x轴作简谐振动(弹簧为原长时振动物体的位置取作x轴原点).已知振动物体最大位移为xm = 0.4 m最大恢复力为Fm = 0.8 N,最大速度为vm = 0.8 m/s,又知t = 0的初位移为+0.2 m,且初速度与所选x轴方向相反.
(1) 求振动能量;
(2) 求此振动的表达式.
题目解答
答案
解:(1) 由题意 
,
,
.
J
(2) 
rad /s
由 t = 0, 
=0.2 m, 
可得 
则振动方程为 
解析
步骤 1：计算振动能量
根据简谐振动的能量公式，振动能量E可以表示为：
\[ E = \frac{1}{2}kx_m^2 \]
其中，\( k \)是弹簧的劲度系数，\( x_m \)是振动物体的最大位移。根据题目，\( x_m = 0.4 \) m，最大恢复力\( F_m = 0.8 \) N，根据胡克定律，\( F_m = kx_m \)，可以求出\( k \)的值。
步骤 2：求解劲度系数\( k \)
由\( F_m = kx_m \)，代入已知数值，可以求出\( k \)的值。
步骤 3：求解振动能量
将\( k \)的值代入振动能量公式，计算出振动能量\( E \)。
步骤 4：求解振动表达式
根据简谐振动的运动方程，\( x = A\cos(\omega t + \varphi) \)，其中\( A \)是振幅，\( \omega \)是角频率，\( \varphi \)是初相位。根据题目条件，\( A = x_m = 0.4 \) m，\( \omega = \frac{v_m}{A} \)，\( v_m = 0.8 \) m/s，\( t = 0 \)时，\( x = 0.2 \) m，\( v < 0 \)，可以求出\( \omega \)和\( \varphi \)的值。
根据简谐振动的能量公式，振动能量E可以表示为：
\[ E = \frac{1}{2}kx_m^2 \]
其中，\( k \)是弹簧的劲度系数，\( x_m \)是振动物体的最大位移。根据题目，\( x_m = 0.4 \) m，最大恢复力\( F_m = 0.8 \) N，根据胡克定律，\( F_m = kx_m \)，可以求出\( k \)的值。
步骤 2：求解劲度系数\( k \)
由\( F_m = kx_m \)，代入已知数值，可以求出\( k \)的值。
步骤 3：求解振动能量
将\( k \)的值代入振动能量公式，计算出振动能量\( E \)。
步骤 4：求解振动表达式
根据简谐振动的运动方程，\( x = A\cos(\omega t + \varphi) \)，其中\( A \)是振幅，\( \omega \)是角频率，\( \varphi \)是初相位。根据题目条件，\( A = x_m = 0.4 \) m，\( \omega = \frac{v_m}{A} \)，\( v_m = 0.8 \) m/s，\( t = 0 \)时，\( x = 0.2 \) m，\( v < 0 \)，可以求出\( \omega \)和\( \varphi \)的值。