已知三个同方向的简谐振动方程为x1=6cos(πt+π/2),x1=6cos(πt+π/2) ,x1=6cos(πt+π/2) ,求这三个简谐振动的合振动.

考查要点：本题主要考查同方向同频率简谐振动的合成方法，涉及三角函数的恒等变换及相量合成。

解题核心思路：

1. 统一表达式形式：将所有振动方程转换为相同三角函数形式（如余弦），便于相加。
2. 分解与合并：将各振动分解为同频率的正弦和余弦分量，分别相加后合并。
3. 合成单一形式：利用振幅相加公式，将结果表示为单一余弦函数形式。

破题关键点：

• 三角函数转换：利用$\sin\theta = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$等恒等式统一形式。
• 相量合成：将各分量视为相量，通过振幅和相位差计算合成结果。

步骤1：统一表达式形式

将各振动方程转换为余弦形式：

• $x_1 = 6\cos(\pi t + \frac{\pi}{2})$（已为余弦形式）
• $x_2 = 3\sin(\pi t + \frac{\pi}{2}) = 3\cos(\pi t)$（因$\sin\theta = \cos(\theta - \frac{\pi}{2})$）
• $x_3 = 2\cos(\pi t - \frac{\pi}{2}) = 2\sin(\pi t)$（因$\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin\theta$）

步骤2：分解为正弦和余弦分量

展开各振动方程：

• $x_1 = 6\cos(\pi t + \frac{\pi}{2}) = -6\sin(\pi t)$
• $x_2 = 3\cos(\pi t)$
• $x_3 = 2\sin(\pi t)$

步骤3：合并同类项

将正弦和余弦分量分别相加：
$x = x_1 + x_2 + x_3 = (-6\sin\pi t) + 3\cos\pi t + 2\sin\pi t = 3\cos\pi t - 4\sin\pi t$

步骤4：合成单一余弦形式

将$3\cos\pi t - 4\sin\pi t$表示为$A\cos(\pi t + \varphi)$：

• 振幅：$A = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$
• 相位角：$\varphi = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right)$，但因$\cos\varphi = \frac{3}{5}$且$\sin\varphi = \frac{4}{5}$，故$\varphi = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$

最终合振动方程为：
$x = 5\cos\left(\pi t + \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)$