题目
一链条的总长度为，质量为，放在光滑桌面的靠边处，并使其一端下垂的长度为。设链条由静止开始运动，求链条刚刚离开桌边时的速度是多少？(用牛顿定律求解)
一链条的总长度为
，质量为
，放在光滑桌面的靠边处，并使其一端下垂的长度为
。设链条由静止开始运动，求链条刚刚离开桌边时的速度是多少？(用牛顿定律求解)
题目解答
答案
解：竖直方向，根据题意可得
根据牛顿第二定律可得
,
联立可得
整理得
联立得
两边积分得
解得
解析
步骤 1：确定链条的受力情况
链条在运动过程中，受到重力的作用。由于桌面光滑，摩擦力可以忽略不计。因此，链条的运动仅由重力驱动。
步骤 2：应用牛顿第二定律
设链条的线密度为$\lambda = \frac{m}{l}$，其中$m$是链条的总质量，$l$是链条的总长度。当链条下垂的长度为$x$时，链条的重力为$\lambda xg$，其中$g$是重力加速度。根据牛顿第二定律，链条的加速度$a$满足$\lambda xg = \lambda l a$，即$a = \frac{xg}{l}$。
步骤 3：建立速度与加速度的关系
由于$a = \frac{dv}{dt}$，且$v = \frac{dx}{dt}$，因此$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。将$a = \frac{xg}{l}$代入，得到$v \frac{dv}{dx} = \frac{xg}{l}$。
步骤 4：求解速度
对$v \frac{dv}{dx} = \frac{xg}{l}$两边积分，得到$\int v dv = \int \frac{xg}{l} dx$。积分后得到$\frac{1}{2}v^2 = \frac{g}{2l}x^2 + C$，其中$C$是积分常数。由于链条开始时静止，即$x = a$时$v = 0$，代入得到$C = -\frac{g}{2l}a^2$。因此，$\frac{1}{2}v^2 = \frac{g}{2l}x^2 - \frac{g}{2l}a^2$，即$v^2 = \frac{g}{l}(x^2 - a^2)$。当链条刚刚离开桌边时，$x = l$，代入得到$v^2 = \frac{g}{l}(l^2 - a^2)$，即$v = \sqrt{\frac{g}{l}(l^2 - a^2)}$。
链条在运动过程中，受到重力的作用。由于桌面光滑，摩擦力可以忽略不计。因此，链条的运动仅由重力驱动。
步骤 2：应用牛顿第二定律
设链条的线密度为$\lambda = \frac{m}{l}$，其中$m$是链条的总质量，$l$是链条的总长度。当链条下垂的长度为$x$时，链条的重力为$\lambda xg$，其中$g$是重力加速度。根据牛顿第二定律，链条的加速度$a$满足$\lambda xg = \lambda l a$，即$a = \frac{xg}{l}$。
步骤 3：建立速度与加速度的关系
由于$a = \frac{dv}{dt}$，且$v = \frac{dx}{dt}$，因此$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。将$a = \frac{xg}{l}$代入，得到$v \frac{dv}{dx} = \frac{xg}{l}$。
步骤 4：求解速度
对$v \frac{dv}{dx} = \frac{xg}{l}$两边积分，得到$\int v dv = \int \frac{xg}{l} dx$。积分后得到$\frac{1}{2}v^2 = \frac{g}{2l}x^2 + C$，其中$C$是积分常数。由于链条开始时静止，即$x = a$时$v = 0$，代入得到$C = -\frac{g}{2l}a^2$。因此，$\frac{1}{2}v^2 = \frac{g}{2l}x^2 - \frac{g}{2l}a^2$，即$v^2 = \frac{g}{l}(x^2 - a^2)$。当链条刚刚离开桌边时，$x = l$，代入得到$v^2 = \frac{g}{l}(l^2 - a^2)$，即$v = \sqrt{\frac{g}{l}(l^2 - a^2)}$。