题目
8-9 一无限长直导线和一正方形的线圈如题 8-9 图所示放置(导线与线圈接触处绝-|||-缘).求:线圈与导线间的互感系数.-|||-a-|||-a/3 2a/3-|||-题 8-9 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定互感系数的定义
互感系数 $M$ 是描述两个线圈之间磁场耦合强度的物理量，其定义为一个线圈中的磁通量与另一个线圈中电流的比值。对于无限长直导线和正方形线圈，互感系数 $M$ 可以表示为：
$$
M = \frac{\Phi}{I}
$$
其中，$\Phi$ 是无限长直导线产生的磁场穿过正方形线圈的磁通量，$I$ 是无限长直导线中的电流。
步骤 2：计算磁通量 $\Phi$
无限长直导线产生的磁场强度 $B$ 可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线 $r$ 处的磁场强度为：
$$
B = \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}
$$
其中，${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是导线中的电流，$r$ 是距离导线的距离。
正方形线圈的面积为 $a^2$，线圈与导线的距离分别为 $a/3$ 和 $2a/3$。因此，穿过正方形线圈的磁通量 $\Phi$ 可以表示为：
$$
\Phi = \int_{a/3}^{2a/3} B \cdot dA = \int_{a/3}^{2a/3} \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot a dr
$$
其中，$dA$ 是正方形线圈的面积微元，$r$ 是距离导线的距离。
步骤 3：计算互感系数 $M$
将磁通量 $\Phi$ 代入互感系数的定义式中，得到：
$$
M = \frac{\Phi}{I} = \frac{1}{I} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot a dr = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{r} dr
$$
计算积分，得到：
$$
M = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \ln \left(\frac{2a/3}{a/3}\right) = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \ln 2
$$
互感系数 $M$ 是描述两个线圈之间磁场耦合强度的物理量，其定义为一个线圈中的磁通量与另一个线圈中电流的比值。对于无限长直导线和正方形线圈，互感系数 $M$ 可以表示为：
$$
M = \frac{\Phi}{I}
$$
其中，$\Phi$ 是无限长直导线产生的磁场穿过正方形线圈的磁通量，$I$ 是无限长直导线中的电流。
步骤 2：计算磁通量 $\Phi$
无限长直导线产生的磁场强度 $B$ 可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线 $r$ 处的磁场强度为：
$$
B = \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}
$$
其中，${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是导线中的电流，$r$ 是距离导线的距离。
正方形线圈的面积为 $a^2$，线圈与导线的距离分别为 $a/3$ 和 $2a/3$。因此，穿过正方形线圈的磁通量 $\Phi$ 可以表示为：
$$
\Phi = \int_{a/3}^{2a/3} B \cdot dA = \int_{a/3}^{2a/3} \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot a dr
$$
其中，$dA$ 是正方形线圈的面积微元，$r$ 是距离导线的距离。
步骤 3：计算互感系数 $M$
将磁通量 $\Phi$ 代入互感系数的定义式中，得到：
$$
M = \frac{\Phi}{I} = \frac{1}{I} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r} \cdot a dr = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \int_{a/3}^{2a/3} \frac{1}{r} dr
$$
计算积分，得到：
$$
M = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \ln \left(\frac{2a/3}{a/3}\right) = \frac{{\mu }_{0}a}{2\pi} \ln 2
$$