【计算题】一半径为R的带电球体,其电荷体密度分布为 A为一常量.试求球体内外的场强分布.

步骤 1：确定电荷体密度分布
电荷体密度分布为 \(\rho(r) = A(1 - \frac{r}{R})\)，其中 \(A\) 是常量，\(r\) 是球体内部任意一点到球心的距离，\(R\) 是球体的半径。

步骤 2：计算球体内部的电荷分布
为了计算球体内部的电荷分布，我们需要对电荷体密度进行积分。球体内部的电荷 \(Q(r)\) 可以通过积分电荷体密度 \(\rho(r)\) 来获得：
\[ Q(r) = \int_{0}^{r} \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_{0}^{r} A(1 - \frac{r'}{R}) 4\pi r'^2 dr' \]
\[ Q(r) = 4\pi A \int_{0}^{r} (r'^2 - \frac{r'^3}{R}) dr' \]
\[ Q(r) = 4\pi A \left[ \frac{r'^3}{3} - \frac{r'^4}{4R} \right]_{0}^{r} \]
\[ Q(r) = 4\pi A \left( \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right) \]
\[ Q(r) = \frac{4\pi A r^3}{3} \left( 1 - \frac{r}{4R} \right) \]

步骤 3：应用高斯定理求解球体内部的场强分布
根据高斯定理，球体内部的电场强度 \(E(r)\) 可以通过球体内部的电荷分布来计算：
\[ E(r) = \frac{Q(r)}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\frac{4\pi A r^3}{3} \left( 1 - \frac{r}{4R} \right)}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
\[ E(r) = \frac{A r}{3 \epsilon_0} \left( 1 - \frac{r}{4R} \right) \]

步骤 4：计算球体外部的电荷分布
球体外部的电荷分布可以通过积分整个球体的电荷体密度来获得：
\[ Q_{total} = \int_{0}^{R} \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} A(1 - \frac{r}{R}) 4\pi r^2 dr \]
\[ Q_{total} = 4\pi A \int_{0}^{R} (r^2 - \frac{r^3}{R}) dr \]
\[ Q_{total} = 4\pi A \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4R} \right]_{0}^{R} \]
\[ Q_{total} = 4\pi A \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^4}{4R} \right) \]
\[ Q_{total} = 4\pi A \left( \frac{R^3}{3} - \frac{R^3}{4} \right) \]
\[ Q_{total} = 4\pi A \frac{R^3}{12} \]
\[ Q_{total} = \frac{\pi A R^3}{3} \]

步骤 5：应用高斯定理求解球体外部的场强分布
根据高斯定理，球体外部的电场强度 \(E(r)\) 可以通过球体外部的电荷分布来计算：
\[ E(r) = \frac{Q_{total}}{4\pi \epsilon_0 r^2} = \frac{\frac{\pi A R^3}{3}}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
\[ E(r) = \frac{A R^3}{12 \epsilon_0 r^2} \]