一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为( rho =dfrac (qr)(pi {R)^4} , leqslant R, q为 一 正 的 常量-|||-rho =0,rgt R。试求：（1）带电球体的总电荷；（2）球内、外各点的电场强度；（3）球内、外各点的电势。

步骤 1：计算带电球体的总电荷
带电球体的电荷体密度分布为 $\rho(r) = \frac{qr}{\pi R^4}$，其中 $r \leq R$。为了计算总电荷，我们需要对整个球体的电荷体密度进行积分。总电荷 $Q$ 可以通过以下积分计算：
$$
Q = \int_{0}^{R} \rho(r) 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} \frac{qr}{\pi R^4} 4\pi r^2 dr = \frac{4q}{R^4} \int_{0}^{R} r^3 dr
$$
步骤 2：计算球内、外各点的电场强度
根据高斯定理，球内和球外的电场强度可以通过高斯面的电通量来计算。对于球内，高斯面的半径为 $r$，电场强度 $E(r)$ 可以通过以下积分计算：
$$
E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q(r)}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\frac{4q}{R^4} \int_{0}^{r} r'^3 dr'}{r^2} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^4} \frac{r^2}{r^2} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^4} r
$$
对于球外，高斯面的半径为 $r$，电场强度 $E(r)$ 可以通过以下积分计算：
$$
E(r) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}
$$
步骤 3：计算球内、外各点的电势
电势可以通过电场强度的积分来计算。对于球内，电势 $U(r)$ 可以通过以下积分计算：
$$
U(r) = -\int_{0}^{r} E(r') dr' = -\int_{0}^{r} \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R^4} r' dr' = -\frac{q}{8\pi \epsilon_0 R^4} r^2
$$
对于球外，电势 $U(r)$ 可以通过以下积分计算：
$$
U(r) = -\int_{R}^{r} E(r') dr' = -\int_{R}^{r} \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r'^2} dr' = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r}
$$