题目
设球形电容器极板上的电荷量不变，若将两极板的间距缩小一半（内球半径(R)_(1)不变，外球半径(R)_(2)变小），试问缩小后的电容器能量与原来的能量之比为多少？
设球形电容器极板上的电荷量不变，若将两极板的间距缩小一半（内球半径${R}_{1}$不变，外球半径${R}_{2}$变小），试问缩小后的电容器能量与原来的能量之比为多少？
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算原始电容器的能量
原始电容器的电容量为 $C=\dfrac {4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{2}-{R}_{1}}$。根据电容器储存能量的公式，原始电容器的能量为 ${W}_{原始}=\dfrac {1}{2}\dfrac {{Q}^{2}}{C}=\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}$。
步骤 2：计算缩小后电容器的能量
缩小后，两极板的间距缩小一半，即 ${R}_{2}'-{R}_{1}=\dfrac {1}{2}({R}_{2}-{R}_{1})$，则 ${R}_{2}'=\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})$。缩小后电容器的电容量为 $C'=\dfrac {4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}'}{{R}_{2}'-{R}_{1}}$。根据电容器储存能量的公式，缩小后电容器的能量为 ${W}_{缩小}=\dfrac {1}{2}\dfrac {{Q}^{2}}{C'}=\dfrac {({R}_{2}'-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}'}=\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})}$。
步骤 3：计算缩小后的电容器能量与原来的能量之比
缩小后的电容器能量与原来的能量之比为 $\dfrac {{W}_{缩小}}{{W}_{原始}}=\dfrac {\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})}}{\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}}=\dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$。
原始电容器的电容量为 $C=\dfrac {4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{2}-{R}_{1}}$。根据电容器储存能量的公式，原始电容器的能量为 ${W}_{原始}=\dfrac {1}{2}\dfrac {{Q}^{2}}{C}=\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}$。
步骤 2：计算缩小后电容器的能量
缩小后，两极板的间距缩小一半，即 ${R}_{2}'-{R}_{1}=\dfrac {1}{2}({R}_{2}-{R}_{1})$，则 ${R}_{2}'=\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})$。缩小后电容器的电容量为 $C'=\dfrac {4\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}'}{{R}_{2}'-{R}_{1}}$。根据电容器储存能量的公式，缩小后电容器的能量为 ${W}_{缩小}=\dfrac {1}{2}\dfrac {{Q}^{2}}{C'}=\dfrac {({R}_{2}'-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}'}=\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})}$。
步骤 3：计算缩小后的电容器能量与原来的能量之比
缩小后的电容器能量与原来的能量之比为 $\dfrac {{W}_{缩小}}{{W}_{原始}}=\dfrac {\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}\dfrac {1}{2}({R}_{1}+{R}_{2})}}{\dfrac {({R}_{2}-{R}_{1}){Q}^{2}}{8\pi {\varepsilon }_{0}{R}_{1}{R}_{2}}}=\dfrac {{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$。