.3-30 如图所示,天文观测台有一半径为R的半球形屋面,有一冰块从光滑屋面的最-|||-高点由静止沿屋面滑下,若摩擦力略去不计,求此冰块离开屋面的位置以及在该位置时的-|||-速度.

考查要点：本题主要考查机械能守恒定律和圆周运动中的向心力条件，涉及物体脱离曲面的临界状态分析。

解题核心思路：

1. 机械能守恒：冰块下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。通过高度变化确定动能。
2. 脱离条件：冰块脱离屋面时，屋面对冰块的支持力为零，此时重力的径向分量提供向心力。
3. 几何关系：速度方向沿切线，与重力方向的夹角可通过几何关系确定。

破题关键点：

• 联立方程：结合机械能守恒和向心力条件，建立方程求解角度θ和速度v。
• 角度转换：速度方向与重力方向的夹角需通过θ计算得出。

机械能守恒分析

冰块从最高点（θ=0）下滑到角度θ时，高度下降了$R(1-\cos\theta)$，重力势能转化为动能：
$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1-\cos\theta)$

离开屋面的条件

在脱离瞬间，支持力$N=0$，重力的径向分量提供向心力：
$mg\cos\theta = \frac{mv^2}{R}$

联立方程求解

将$v^2 = Rg\cos\theta$代入机械能守恒方程：
$\frac{1}{2}m(Rg\cos\theta) = mgR(1-\cos\theta)$
化简得：
$\cos\theta = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad \theta \approx 48.2^\circ$
此时速度为：
$v = \sqrt{\frac{2Rg}{3}}$

速度方向与重力方向的夹角

速度方向沿切线，与竖直方向的夹角为$90^\circ - \theta$，即：
$90^\circ - 48.2^\circ = 41.8^\circ$