题目
一长为1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动.抬起另一端使-|||-棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放.已知棒对轴的转动惯量为 dfrac (1)(3)m(L)^2, 其中-|||-m和l分别为棒的质量和长度.求:-|||-(1)放手时棒的角加速度;-|||-(2)棒转到水平位置时的角加速度.-|||-l-|||-mg-|||-O 60°
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定棒的转动惯量
棒的转动惯量为 $J = \dfrac{1}{3}m{l}^{2}$，其中 $m$ 是棒的质量，$l$ 是棒的长度。
步骤 2：计算放手时棒的角加速度
当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律 $M = J\beta$，其中 $M$ 是力矩，$\beta$ 是角加速度。力矩 $M$ 可以表示为 $M = \dfrac{1}{2}mgl\sin{30}^{\circ} = \dfrac{1}{4}mgl$。因此，角加速度 $\beta$ 可以表示为 $\beta = \dfrac{M}{J} = \dfrac{\dfrac{1}{4}mgl}{\dfrac{1}{3}m{l}^{2}} = \dfrac{3g}{4l}$。
步骤 3：计算棒转到水平位置时的角加速度
当棒转动到水平位置时，力矩 $M$ 可以表示为 $M = \dfrac{1}{2}mgl$。因此，角加速度 $\beta$ 可以表示为 $\beta = \dfrac{M}{J} = \dfrac{\dfrac{1}{2}mgl}{\dfrac{1}{3}m{l}^{2}} = \dfrac{3g}{2l}$。
棒的转动惯量为 $J = \dfrac{1}{3}m{l}^{2}$，其中 $m$ 是棒的质量，$l$ 是棒的长度。
步骤 2：计算放手时棒的角加速度
当棒与水平面成60°角并开始下落时，根据转动定律 $M = J\beta$，其中 $M$ 是力矩，$\beta$ 是角加速度。力矩 $M$ 可以表示为 $M = \dfrac{1}{2}mgl\sin{30}^{\circ} = \dfrac{1}{4}mgl$。因此，角加速度 $\beta$ 可以表示为 $\beta = \dfrac{M}{J} = \dfrac{\dfrac{1}{4}mgl}{\dfrac{1}{3}m{l}^{2}} = \dfrac{3g}{4l}$。
步骤 3：计算棒转到水平位置时的角加速度
当棒转动到水平位置时，力矩 $M$ 可以表示为 $M = \dfrac{1}{2}mgl$。因此，角加速度 $\beta$ 可以表示为 $\beta = \dfrac{M}{J} = \dfrac{\dfrac{1}{2}mgl}{\dfrac{1}{3}m{l}^{2}} = \dfrac{3g}{2l}$。