题目
M-|||-O-|||-P x 如图,一圆频率为M-|||-O-|||-P x、振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播,设在 t = 0时刻该波在坐标原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的正方向运动。M是垂直于x轴的波密媒质反射面。已知M-|||-O-|||-P x,M-|||-O-|||-P x M-|||-O-|||-P x (M-|||-O-|||-P x为该波波长);设反射波不衰减,求:a) 入射波与反射的波动方程;b) P点的振动方程。
如图,一圆频率为
、振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播,设在 t = 0时刻该波在坐标原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的正方向运动。M是垂直于x轴的波密媒质反射面。已知
,
(
为该波波长);设反射波不衰减,求:
a) 入射波与反射的波动方程;
b) P点的振动方程。
题目解答
答案
解:(1) 由题意知O点振动相位为
,
则O点的振动方程为
入射波的波动方程为
入射波在反射点
引起的振动方程为
在点反射时,有半波损失,所以反射波波动方程为
(2) 合成波的波动方程为
将P点坐标
代入上式,得P点振动方程 
解析
步骤 1：确定原点O处的振动方程
在t=0时刻，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的正方向运动，因此振动相位为$-\dfrac {\pi }{2}$。所以，原点O处的振动方程为${y}_{0}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 2：确定入射波的波动方程
入射波沿x轴正方向传播，因此入射波的波动方程为${y}_{1}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2}-2\pi \dfrac {x}{\lambda })$，其中$x\leqslant \dfrac {5}{4}\lambda$。
步骤 3：确定反射波的波动方程
反射波在反射点引起的振动方程为${y}_{0}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2}-2\pi \cdot \dfrac {5\lambda }{4}{\lambda })=A\cos (\omega t-\pi )$。由于在点反射时有半波损失，所以反射波的波动方程为${y}_{2}=A\cos [ \omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }(\omega x-x)] =A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 4：确定合成波的波动方程
合成波的波动方程为$y={y}_{1}+{y}_{2}=A\cos (\omega x-\dfrac {2\pi }{\lambda })-A\cos (\omega x+\dfrac {2\pi }{\lambda })-\dfrac {\pi }{2}$。化简后得到$y=2A\cos \dfrac {2\pi x}{\lambda }\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 5：确定P点的振动方程
将P点坐标$\overrightarrow {OP}=\lambda$代入合成波的波动方程，得到P点的振动方程$y=2A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
在t=0时刻，原点O处的振动使媒质元由平衡位置向y轴的正方向运动，因此振动相位为$-\dfrac {\pi }{2}$。所以，原点O处的振动方程为${y}_{0}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 2：确定入射波的波动方程
入射波沿x轴正方向传播，因此入射波的波动方程为${y}_{1}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2}-2\pi \dfrac {x}{\lambda })$，其中$x\leqslant \dfrac {5}{4}\lambda$。
步骤 3：确定反射波的波动方程
反射波在反射点引起的振动方程为${y}_{0}=A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2}-2\pi \cdot \dfrac {5\lambda }{4}{\lambda })=A\cos (\omega t-\pi )$。由于在点反射时有半波损失，所以反射波的波动方程为${y}_{2}=A\cos [ \omega t-\dfrac {2\pi }{\lambda }(\omega x-x)] =A\cos (\omega t+\dfrac {2\pi }{\lambda }x-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 4：确定合成波的波动方程
合成波的波动方程为$y={y}_{1}+{y}_{2}=A\cos (\omega x-\dfrac {2\pi }{\lambda })-A\cos (\omega x+\dfrac {2\pi }{\lambda })-\dfrac {\pi }{2}$。化简后得到$y=2A\cos \dfrac {2\pi x}{\lambda }\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。
步骤 5：确定P点的振动方程
将P点坐标$\overrightarrow {OP}=\lambda$代入合成波的波动方程，得到P点的振动方程$y=2A\cos (\omega t-\dfrac {\pi }{2})$。