题目
3-22 一物体在介质中按规律 =c(t)^3 作直线运动,c为一常量.设介质对物-|||-体的阻力正比于速度的二次方.试求物体由 _(0)=0 运动到 =1 时,阻力所做的功.-|||-(已知阻力系数为k.)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体的速度
根据运动学方程 $x = c{t}^{3}$，物体的速度 $v$ 可以通过求导得到：
$$ v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2} $$
步骤 2：确定阻力的大小
根据题目条件，阻力 $F$ 正比于速度的二次方，即：
$$ F = k{v}^{2} $$
将速度 $v = 3c{t}^{2}$ 代入上式，得到阻力的大小：
$$ F = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4} $$
由于 $x = c{t}^{3}$，可以将 $t$ 用 $x$ 表示，即 $t = (x/c)^{1/3}$，代入上式得到阻力的大小：
$$ F = 9k{c}^{2}((x/c)^{1/3})^{4} = 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} $$
步骤 3：计算阻力所做的功
阻力所做的功 $W$ 可以通过积分阻力 $F$ 对位移 $x$ 的积分得到：
$$ W = -\int_{0}^{1} F dx = -\int_{0}^{1} 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} dx $$
计算积分：
$$ W = -9k{c}^{2/3} \int_{0}^{1} {x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \left[ \frac{3}{7} {x}^{7/3} \right]_{0}^{1} = -\frac{27}{7} k{c}^{2/3} $$
根据运动学方程 $x = c{t}^{3}$，物体的速度 $v$ 可以通过求导得到：
$$ v = \frac{dx}{dt} = 3c{t}^{2} $$
步骤 2：确定阻力的大小
根据题目条件，阻力 $F$ 正比于速度的二次方，即：
$$ F = k{v}^{2} $$
将速度 $v = 3c{t}^{2}$ 代入上式，得到阻力的大小：
$$ F = k(3c{t}^{2})^{2} = 9k{c}^{2}{t}^{4} $$
由于 $x = c{t}^{3}$，可以将 $t$ 用 $x$ 表示，即 $t = (x/c)^{1/3}$，代入上式得到阻力的大小：
$$ F = 9k{c}^{2}((x/c)^{1/3})^{4} = 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} $$
步骤 3：计算阻力所做的功
阻力所做的功 $W$ 可以通过积分阻力 $F$ 对位移 $x$ 的积分得到：
$$ W = -\int_{0}^{1} F dx = -\int_{0}^{1} 9k{c}^{2/3}{x}^{4/3} dx $$
计算积分：
$$ W = -9k{c}^{2/3} \int_{0}^{1} {x}^{4/3} dx = -9k{c}^{2/3} \left[ \frac{3}{7} {x}^{7/3} \right]_{0}^{1} = -\frac{27}{7} k{c}^{2/3} $$