5-23 半径为R的无限长直圆柱体内均匀分布着电荷,电荷体密度为ρ.试-|||-求离轴线为r处的电场强度E,并画出 E-r 曲线.

步骤 1：确定高斯面
为了求解离轴线为r处的电场强度E，我们选择一个与圆柱体同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L。高斯面的侧面积为$2\pi rL$。

步骤 2：应用高斯定理
根据高斯定理，通过高斯面的电场强度通量等于高斯面内包含的总电荷除以真空介电常数${\varepsilon }_{0}$。即：
${\int }_{S}E\cdot dS=\dfrac {{q}_{内}}{{\varepsilon }_{0}}$
其中，${q}_{内}$是高斯面内的总电荷量。

步骤 3：计算高斯面内的电荷量
对于$r\lt R$的情况，高斯面内的电荷量为：
${q}_{内}=\rho \cdot \pi {r}^{2}L$
对于$r\geqslant R$的情况，高斯面内的电荷量为：
${q}_{内}=\rho \cdot \pi {R}^{2}L$

步骤 4：求解电场强度
根据高斯定理，对于$r\lt R$的情况，电场强度为：
$E\cdot 2\pi rL=\dfrac {\rho \cdot \pi {r}^{2}L}{{\varepsilon }_{0}}$
解得：
$E=\dfrac {\rho r}{2{\varepsilon }_{0}}$
对于$r\geqslant R$的情况，电场强度为：
$E\cdot 2\pi rL=\dfrac {\rho \cdot \pi {R}^{2}L}{{\varepsilon }_{0}}$
解得：
$E=\dfrac {\rho {R}^{2}}{2{\varepsilon }_{0}r}$

步骤 5：绘制E-r曲线
根据上述结果，可以绘制出E-r曲线。当$r\lt R$时，电场强度E与r成正比；当$r\geqslant R$时，电场强度E与r成反比。