一“无限大”平面,中部有一半径为R的圆孔,设平面上均匀带电,电荷面密度为.如图所示,试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电势为零).σ-|||-R-|||-O

步骤 1：将电荷分布看作两个部分的叠加
将题中的电荷分布看作为面密度为$\sigma$的大平面和面密度为$-\sigma$的圆盘叠加的结果。选$x$轴垂直于平面，坐标原点$O$在圆盘中心。

步骤 2：计算大平面产生的场强
大平面在$x$处产生的场强为$\overrightarrow{E_1}=\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0|x|}\overrightarrow{i}$。

步骤 3：计算圆盘产生的场强
圆盘在该处的场强为$\overrightarrow{E_2}=\dfrac{-\sigma x}{2\epsilon_0}\left(\dfrac{1}{|x|}-\dfrac{1}{\sqrt{R^2+x^2}}\right)\overrightarrow{i}$。

步骤 4：计算总场强
总场强为$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}=\dfrac{\sigma x}{2\epsilon_0\sqrt{R^2+x^2}}\overrightarrow{i}$。

步骤 5：计算电势
该点电势为$U=\int_{x}^{0}\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}\dfrac{xdx}{\sqrt{R^2+x^2}}=\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}(R-\sqrt{R^2+x^2})$。