1.3.3 一质点沿 x 轴做直线运动,t 时刻的坐-|||-标为 =4.5(t)^2-2(t)^3(S1). 试求:(1)第2s内的平均-|||-速度;(2)第2s末的瞬时速度;(3)第 2 s 内 的-|||-路程。

考查要点：本题主要考查质点直线运动中的平均速度、瞬时速度及路程的计算，涉及导数的应用和分段位移分析。

解题思路：

1. 平均速度：计算指定时间区间内的位移变化量，再除以时间间隔。
2. 瞬时速度：对位移函数求导得到速度函数，代入具体时间。
3. 路程：需判断质点是否改变运动方向。若速度为零时改变方向，则分段计算各区间位移的绝对值之和。

关键点：

• 平均速度≠速度的平均值，必须用位移差计算。
• 导数求瞬时速度时注意系数和符号。
• 路程计算需分段求和，避免直接用位移差。

第（1）题：第2秒内的平均速度

计算t=1s和t=2s的位移

• $x(1) = 4.5 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^3 = 2.5 \, \text{m}$
• $x(2) = 4.5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2^3 = 2 \, \text{m}$

求位移变化量

$\Delta x = x(2) - x(1) = 2 - 2.5 = -0.5 \, \text{m}$

平均速度公式

$\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{-0.5}{1} = -0.5 \, \text{m/s}$

第（2）题：第2秒末的瞬时速度

对位移函数求导

$v(t) = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} = 9t - 6t^2$

代入t=2s

$v(2) = 9 \cdot 2 - 6 \cdot 2^2 = 18 - 24 = -6 \, \text{m/s}$

第（3）题：第2秒内的路程

求速度为零的时间

$9t - 6t^2 = 0 \Rightarrow t=0 \, \text{或} \, t=1.5 \, \text{s}$

分段计算路程

1. t=1s到t=1.5s：

   • $x(1.5) = 4.5 \cdot 1.5^2 - 2 \cdot 1.5^3 = 3.375 \, \text{m}$
   • 位移差：$\Delta x_1 = 3.375 - 2.5 = 0.875 \, \text{m}$

2. t=1.5s到t=2s：

   • $x(2) = 2 \, \text{m}$
   • 位移差：$\Delta x_2 = 2 - 3.375 = -1.375 \, \text{m}$

路程总和

$S = |0.875| + |-1.375| = 2.25 \, \text{m}$