题目
求振动_(1)=4cos 3t和_(1)=4cos 3t (SI)的合振动方程.
求振动
和
(SI)的合振动方程.
题目解答
答案
要求两个振动
的合振动方程，可以通过简单地将它们相加来得到。合振动的方程将是两个振动分量的代数和。
给定振动分量:
合振动方程
现在，我们可以尝试将这两个余弦项合并成一个单一的余弦项。使用三角恒等式cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，我们可以将这两个余弦项合并：
注意到cos(2π/3) = -1/2 和 
，我们可以继续简化：
这就是两个振动x1和x2的合振动方程：
解析
步骤 1：确定两个振动的方程
给定振动分量:
${c}_{1}=4\cos (3t)$
${c}_{2}=2\cos (3t+\dfrac {2\pi }{3})$
步骤 2：使用三角恒等式合并两个振动
使用三角恒等式$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$，我们可以将${c}_{2}$的表达式展开：
${c}_{2}=2\cos (3t+\dfrac {2\pi }{3})=2\left(\cos(3t)\cos(\dfrac {2\pi }{3})-\sin(3t)\sin(\dfrac {2\pi }{3})\right)$
步骤 3：代入$\cos(\dfrac {2\pi }{3})$和$\sin(\dfrac {2\pi }{3})$的值
注意到$\cos(\dfrac {2\pi }{3}) = -\dfrac {1}{2}$ 和 $\sin(\dfrac {2\pi }{3})=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$，我们可以继续简化：
${c}_{2}=2\left(\cos(3t)\left(-\dfrac {1}{2}\right)-\sin(3t)\left(\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right)\right)$
$= -\cos(3t) - \sqrt{3}\sin(3t)$
步骤 4：将两个振动相加
将${c}_{1}$和${c}_{2}$相加得到合振动方程：
${c}_{t}={c}_{1}+{c}_{2}$
$=4\cos (3t) + (-\cos(3t) - \sqrt{3}\sin(3t))$
$=3\cos (3t) - \sqrt{3}\sin(3t)$
给定振动分量:
${c}_{1}=4\cos (3t)$
${c}_{2}=2\cos (3t+\dfrac {2\pi }{3})$
步骤 2：使用三角恒等式合并两个振动
使用三角恒等式$\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$，我们可以将${c}_{2}$的表达式展开：
${c}_{2}=2\cos (3t+\dfrac {2\pi }{3})=2\left(\cos(3t)\cos(\dfrac {2\pi }{3})-\sin(3t)\sin(\dfrac {2\pi }{3})\right)$
步骤 3：代入$\cos(\dfrac {2\pi }{3})$和$\sin(\dfrac {2\pi }{3})$的值
注意到$\cos(\dfrac {2\pi }{3}) = -\dfrac {1}{2}$ 和 $\sin(\dfrac {2\pi }{3})=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$，我们可以继续简化：
${c}_{2}=2\left(\cos(3t)\left(-\dfrac {1}{2}\right)-\sin(3t)\left(\dfrac {\sqrt {3}}{2}\right)\right)$
$= -\cos(3t) - \sqrt{3}\sin(3t)$
步骤 4：将两个振动相加
将${c}_{1}$和${c}_{2}$相加得到合振动方程：
${c}_{t}={c}_{1}+{c}_{2}$
$=4\cos (3t) + (-\cos(3t) - \sqrt{3}\sin(3t))$
$=3\cos (3t) - \sqrt{3}\sin(3t)$