1-25 一质点沿x轴运动,其加速度与位置坐标-|||-的关系为 =4+3(x)^2 (SI单位),若质点在原点处的速度-|||-为零,试求其在任意位置处的速度.

考查要点：本题主要考查变力作用下的运动学方程求解，涉及加速度与速度、位置的关系转换，以及微分方程的积分方法。

解题核心思路：

1. 利用链式法则将加速度表达式转换为关于位置$x$的微分方程；
2. 分离变量积分，结合初始条件确定积分常数；
3. 开平方求解速度表达式，注意物理意义的合理性。

破题关键点：

• 正确应用$a = v \frac{dv}{dx}$，将时间导数转换为位置导数；
• 积分上下限的物理意义：初始条件$x=0$时$v=0$，直接确定常数项。

步骤1：建立微分方程
已知加速度与位置的关系为$a = 4 + 3x^2$，根据加速度定义：
$a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx} \quad (\text{链式法则：}\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx})$
代入$a = 4 + 3x^2$，得：
$v \frac{dv}{dx} = 4 + 3x^2$

步骤2：分离变量并积分
将方程改写为：
$v \, dv = (4 + 3x^2) \, dx$
两边积分：
$\int v \, dv = \int (4 + 3x^2) \, dx$
计算得：
$\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3 + C$
其中$C$为积分常数。

步骤3：应用初始条件确定常数
当$x=0$时，$v=0$，代入得：
$\frac{1}{2}(0)^2 = 4 \cdot 0 + 0^3 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0$
因此方程简化为：
$\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3$

步骤4：求解速度表达式
两边乘以2并开平方：
$v^2 = 8x + 2x^3 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2x^3 + 8x}$
由于题目未明确运动方向，且初始速度为零，取正根即可。