题目
1-25 一质点沿x轴运动,其加速度与位置坐标-|||-的关系为 =4+3(x)^2 (SI单位),若质点在原点处的速度-|||-为零,试求其在任意位置处的速度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定加速度与速度的关系
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 4 + 3x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 4 + 3x^2$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $v dv = (4 + 3x^2) dx$。
步骤 3：求解微分方程
对等式两边同时积分，得到 $\int v dv = \int (4 + 3x^2) dx$。左边积分得到 $\frac{1}{2}v^2$，右边积分得到 $4x + x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3 + C$。
步骤 4：确定积分常数
题目中给出质点在原点处的速度为零，即 $v(0) = 0$。代入上式，得到 $0 = 4 \cdot 0 + 0^3 + C$，从而确定 $C = 0$。因此，速度与位置的关系为 $\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3$。
步骤 5：求解速度
将上式两边同时乘以2，得到 $v^2 = 2x^3 + 8x$。取平方根，得到 $v = \sqrt{2x^3 + 8x}$。由于速度是标量，我们只取正值。
加速度 $a$ 是速度 $v$ 对时间 $t$ 的导数，即 $a = \frac{dv}{dt}$。同时，速度 $v$ 是位置 $x$ 对时间 $t$ 的导数，即 $v = \frac{dx}{dt}$。因此，加速度也可以表示为 $a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$。
步骤 2：建立速度与位置的关系
根据题目给出的加速度与位置的关系 $a = 4 + 3x^2$，代入 $a = v \frac{dv}{dx}$，得到 $v \frac{dv}{dx} = 4 + 3x^2$。这是一个可分离变量的微分方程，可以写成 $v dv = (4 + 3x^2) dx$。
步骤 3：求解微分方程
对等式两边同时积分，得到 $\int v dv = \int (4 + 3x^2) dx$。左边积分得到 $\frac{1}{2}v^2$，右边积分得到 $4x + x^3 + C$，其中 $C$ 是积分常数。因此，有 $\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3 + C$。
步骤 4：确定积分常数
题目中给出质点在原点处的速度为零，即 $v(0) = 0$。代入上式，得到 $0 = 4 \cdot 0 + 0^3 + C$，从而确定 $C = 0$。因此，速度与位置的关系为 $\frac{1}{2}v^2 = 4x + x^3$。
步骤 5：求解速度
将上式两边同时乘以2，得到 $v^2 = 2x^3 + 8x$。取平方根，得到 $v = \sqrt{2x^3 + 8x}$。由于速度是标量，我们只取正值。