题目
不讲2.一半径为R的带电球体,其电荷体密度p=Kr2,K为正常数,r为球心到球内点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。
不讲2.一半径为R的带电球体,其电荷体密度p=Kr2,K为正常数,r为球心到球内
点的矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷体密度和高斯面
带电球体的电荷体密度为 \(p = Kr^2\)，其中 \(K\) 是正常数，\(r\) 是球心到球内点的矢径的大小。为了求解电场强度的分布，我们使用高斯定理。高斯定理表明，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 \(\varepsilon_0\)。我们选择一个半径为 \(r\) 的球面作为高斯面，其中 \(r\) 可以小于或大于球体的半径 \(R\)。
步骤 2：计算球内电场强度
当 \(r \leq R\) 时，高斯面内的电荷量为：
\[ q = \int_{0}^{r} p \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{r} Kr^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K \int_{0}^{r} r^4 dr = 4\pi K \cdot \frac{r^5}{5} = \frac{4\pi K r^5}{5} \]
根据高斯定理，通过高斯面的电通量为：
\[ \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{4\pi K r^5}{5\varepsilon_0} \]
由于电场强度 \(\overrightarrow{E}\) 与高斯面的法线方向相同，且在球面上各点的电场强度大小相等，因此：
\[ 4\pi r^2 E_{内} = \frac{4\pi K r^5}{5\varepsilon_0} \]
解得球内电场强度为：
\[ E_{内} = \frac{K r^3}{5\varepsilon_0} \]
步骤 3：计算球外电场强度
当 \(r > R\) 时，高斯面内的电荷量为：
\[ q = \int_{0}^{R} p \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} Kr^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K \int_{0}^{R} r^4 dr = 4\pi K \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi K R^5}{5} \]
根据高斯定理，通过高斯面的电通量为：
\[ \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{4\pi K R^5}{5\varepsilon_0} \]
由于电场强度 \(\overrightarrow{E}\) 与高斯面的法线方向相同，且在球面上各点的电场强度大小相等，因此：
\[ 4\pi r^2 E_{外} = \frac{4\pi K R^5}{5\varepsilon_0} \]
解得球外电场强度为：
\[ E_{外} = \frac{K R^5}{5\varepsilon_0 r^2} \]
带电球体的电荷体密度为 \(p = Kr^2\)，其中 \(K\) 是正常数，\(r\) 是球心到球内点的矢径的大小。为了求解电场强度的分布，我们使用高斯定理。高斯定理表明，通过一个闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 \(\varepsilon_0\)。我们选择一个半径为 \(r\) 的球面作为高斯面，其中 \(r\) 可以小于或大于球体的半径 \(R\)。
步骤 2：计算球内电场强度
当 \(r \leq R\) 时，高斯面内的电荷量为：
\[ q = \int_{0}^{r} p \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{r} Kr^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K \int_{0}^{r} r^4 dr = 4\pi K \cdot \frac{r^5}{5} = \frac{4\pi K r^5}{5} \]
根据高斯定理，通过高斯面的电通量为：
\[ \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{4\pi K r^5}{5\varepsilon_0} \]
由于电场强度 \(\overrightarrow{E}\) 与高斯面的法线方向相同，且在球面上各点的电场强度大小相等，因此：
\[ 4\pi r^2 E_{内} = \frac{4\pi K r^5}{5\varepsilon_0} \]
解得球内电场强度为：
\[ E_{内} = \frac{K r^3}{5\varepsilon_0} \]
步骤 3：计算球外电场强度
当 \(r > R\) 时，高斯面内的电荷量为：
\[ q = \int_{0}^{R} p \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R} Kr^2 \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi K \int_{0}^{R} r^4 dr = 4\pi K \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi K R^5}{5} \]
根据高斯定理，通过高斯面的电通量为：
\[ \oint \overrightarrow{E} \cdot d\overrightarrow{s} = \frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{4\pi K R^5}{5\varepsilon_0} \]
由于电场强度 \(\overrightarrow{E}\) 与高斯面的法线方向相同，且在球面上各点的电场强度大小相等，因此：
\[ 4\pi r^2 E_{外} = \frac{4\pi K R^5}{5\varepsilon_0} \]
解得球外电场强度为：
\[ E_{外} = \frac{K R^5}{5\varepsilon_0 r^2} \]