题目
.5-10 若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上,求证:-|||-(1)在棒的延长线上,且离棒中心为r处的电场强度为-|||-.=dfrac (1)(pi {varepsilon )_(0)}dfrac (Q)(4{r)^2-(L)^2} .-|||-(2)在棒的垂直平分线上,且离棒为r处的电场强度为-|||-.=dfrac (1)(2pi {varepsilon )_(0)r}dfrac (Q)(sqrt {4{r)^2+(L)^2}}-|||-若棒为无限长(即L→∞),试将结果与无限长均匀带电直导线的电场强度-|||-相比较.
题目解答
答案
分这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略,因而不能将棒当作点电荷处理.带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如(a)所示,在长直线上任意取一线元dx,其电荷量为 dq=Qdx/L ,它在点P的电场强度为 dE=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{dq}{r^{\\prime 2}}e_{r}B y)P r O \\alpha>dx D x dE x L O(a) 题 5-10 整个带电体在点P的电场强度为 E=\\in{t}dE 接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1)若点P在棒的延长线上,带电棒上各电荷元在点P激发的电场强度方向相同, E=\\in{t}_{L}dEi(2) 若点P在棒的垂直平分线上,则电场强度E沿x轴方向的分量因左右对称,叠加为零.因此,点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dE_{y}j=\\in{t}_{L}\\sin \\alpha dEj 证(1)延长线上一点P的电场强度 E=\\in{t}_{L}\\frac{dq}{4 \\pi s_{0}r^{\\prime 2}} 利用几何关系 r'=r-x 统一积分变量,则 E_{P}=\\in{t}_{-L/2}^{L/2}\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{Qdx}{L(r-x)^{2}}=\\frac{Q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} 电场强度的方向沿x轴.(2)根据以上分,中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴,大小为 E=\\in{t}_{L}\\frac{\\sin \\alpha dq}{4 \\pi \\varepsilon_{0}r^{\\prime 2}} 利用几何关系 \\sin \\alpha=r/r',r'=\\sqrt{r^{2}+x^{2}} 充一积分变量,则 E=\\in{t}_{-L/2}^{L/2}\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{rQdx}{L(x^{2}+r^{2})^{\\frac{3}{2}}}=\\frac{Q}{ 若棒单位长度所带电荷 \\lambda 为常量,当棒长 L \\rightarrow \\inf{ty} 时,点P的电场强度为 E=\\lim{_}{L \\rightarrow \\inf{ty}}\\frac{1}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r}\\frac{Q/L}{\\sqrt{1+4 r^{2}/L^{2}}}=\\frac{\\lambda}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r} 如(b)所示,此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同.这说明只要满足 r^{2}/L^{2}<1 ,带电长直细棒可视为无限长带电直线.
解析
步骤 1：确定电荷分布和电场强度的计算方法
带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。在长直线上任意取一线元dx，其电荷量为 dq=Qdx/L ，它在点P的电场强度为 dE=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{dq}{r^{\\prime 2}}e_{r} ，其中 r' 是线元dx到点P的距离，e_r 是单位矢量，指向点P。
步骤 2：计算延长线上一点的电场强度
若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P激发的电场强度方向相同，因此，点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dEi 。利用几何关系 r'=r-x ，统一积分变量，然后进行积分计算。
步骤 3：计算垂直平分线上一点的电场强度
若点P在棒的垂直平分线上，电场强度E沿x轴方向的分量因左右对称，叠加为零。因此，点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dE_{y}j=\\in{t}_{L}\\sin \\alpha dEj 。利用几何关系 \\sin \\alpha=r/r',r'=\\sqrt{r^{2}+x^{2}} ，统一积分变量，然后进行积分计算。
步骤 4：考虑无限长棒的情况
若棒单位长度所带电荷 \\lambda 为常量，当棒长 L \\rightarrow \\inf{ty} 时，点P的电场强度为 E=\\lim{_}{L \\rightarrow \\inf{ty}}\\frac{1}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r}\\frac{Q/L}{\\sqrt{1+4 r^{2}/L^{2}}} ，此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。
带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。在长直线上任意取一线元dx，其电荷量为 dq=Qdx/L ，它在点P的电场强度为 dE=\\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}}\\frac{dq}{r^{\\prime 2}}e_{r} ，其中 r' 是线元dx到点P的距离，e_r 是单位矢量，指向点P。
步骤 2：计算延长线上一点的电场强度
若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P激发的电场强度方向相同，因此，点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dEi 。利用几何关系 r'=r-x ，统一积分变量，然后进行积分计算。
步骤 3：计算垂直平分线上一点的电场强度
若点P在棒的垂直平分线上，电场强度E沿x轴方向的分量因左右对称，叠加为零。因此，点P的电场强度为 E=\\in{t}_{L}dE_{y}j=\\in{t}_{L}\\sin \\alpha dEj 。利用几何关系 \\sin \\alpha=r/r',r'=\\sqrt{r^{2}+x^{2}} ，统一积分变量，然后进行积分计算。
步骤 4：考虑无限长棒的情况
若棒单位长度所带电荷 \\lambda 为常量，当棒长 L \\rightarrow \\inf{ty} 时，点P的电场强度为 E=\\lim{_}{L \\rightarrow \\inf{ty}}\\frac{1}{2 \\pi \\varepsilon_{0}r}\\frac{Q/L}{\\sqrt{1+4 r^{2}/L^{2}}} ，此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。