题目
7-8 如习题 -8 图所示,均匀带电的直线AB,长为1,电荷线密度为λ。求:-|||-(1)在AB延长线上与B端相距d的点P处的电场强度。-|||-(2)在AB的垂直平分线上与直线中点相距d处的Q点的电场强度。-|||-Q-|||-A d B-|||-一 P-|||-l d-|||-习题 -81 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微元电荷对P点的电场强度
在AB延长线上，选取微元dx，其电荷量为 $\lambda dx$。根据点电荷的电场强度公式，微元dx在P点产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2}$，其中x是从B点到微元dx的距离。
步骤 2：积分求解P点的电场强度
由于P点在AB延长线上，x的范围是从d到d+l。因此，P点的电场强度为 $E = \int dE = \int_{d}^{d+l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{d} - \frac{1}{d+l}\right)$。
步骤 3：确定微元电荷对Q点的电场强度
在AB的垂直平分线上，选取微元dx，其电荷量为 $\lambda dx$。根据点电荷的电场强度公式，微元dx在Q点产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$，其中x是从AB中点到微元dx的距离。
步骤 4：积分求解Q点的电场强度
由于Q点在AB的垂直平分线上，x的范围是从-l/2到l/2。因此，Q点的电场强度为 $E = \int dE = \int_{-l/2}^{l/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{(x^2 + d^2)^{3/2}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 d} \left(\frac{l}{\sqrt{l^2 + 4d^2}}\right)$。
在AB延长线上，选取微元dx，其电荷量为 $\lambda dx$。根据点电荷的电场强度公式，微元dx在P点产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2}$，其中x是从B点到微元dx的距离。
步骤 2：积分求解P点的电场强度
由于P点在AB延长线上，x的范围是从d到d+l。因此，P点的电场强度为 $E = \int dE = \int_{d}^{d+l} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0} \left(\frac{1}{d} - \frac{1}{d+l}\right)$。
步骤 3：确定微元电荷对Q点的电场强度
在AB的垂直平分线上，选取微元dx，其电荷量为 $\lambda dx$。根据点电荷的电场强度公式，微元dx在Q点产生的电场强度为 $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$，其中x是从AB中点到微元dx的距离。
步骤 4：积分求解Q点的电场强度
由于Q点在AB的垂直平分线上，x的范围是从-l/2到l/2。因此，Q点的电场强度为 $E = \int dE = \int_{-l/2}^{l/2} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{(x^2 + d^2)^{3/2}} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 d} \left(\frac{l}{\sqrt{l^2 + 4d^2}}\right)$。