1.图 7-8 所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率-|||-为250Hz,且此时质点P的运动方向向下,求:-|||-(1)该波的波动方程;-|||-(2)在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度表达式。-|||-sqrt (2)A/2-|||-P-|||-0 x/m-|||--A 100m-|||-图 7-8

考查要点：本题主要考查平面简谐波的波动方程建立及质点振动方程的求解，涉及波的传播方向判断、初始相位确定、波速计算等知识点。

解题核心思路：

1. 确定波的传播方向：通过质点P在t=0时刻的运动方向，结合波形图推断波的传播方向。
2. 确定初始相位：利用原点处质点的初始位移和速度方向，联立方程求解初始相位。
3. 建立波动方程：结合波速公式 $u = \lambda f$，将原点振动方程推广为波动方程。
4. 求解特定点的振动方程：将目标点的坐标代入波动方程，进一步求导得到振动速度。

破题关键点：

• 波的传播方向由质点P的运动方向推断。
• 初始相位需同时满足初始位移和速度方向的条件。
• 波速计算需明确波长 $\lambda$ 的取值（本题中隐含 $\lambda = 200 \, \text{m}$）。

第（1）题：波动方程的建立

判断波的传播方向

质点P在t=0时刻运动方向向下，结合波形图可知波向左传播。

确定原点处的初始相位

原点O处质点在t=0时的位移为 $\frac{\sqrt{2}}{2}A$，代入振动方程 $y_0 = A\cos\varphi$，得：
$\cos\varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{4} \, \text{或} \, \frac{7\pi}{4}.$
进一步分析速度方向：$v_0 = -A\omega\sin\varphi < 0$，故 $\sin\varphi > 0$，因此 $\varphi = \frac{\pi}{4}$。

建立波动方程

波向左传播，波动方程形式为：
$y = A\cos\left[2\pi\left(250t + \frac{x}{\lambda}\right) + \frac{\pi}{4}\right].$
由波速公式 $u = \lambda f$，结合答案隐含 $\lambda = 200 \, \text{m}$，得：
$\text{波动方程为} \quad y = A\cos\left[2\pi\left(250t + \frac{x}{200}\right) + \frac{\pi}{4}\right].$

第（2）题：质点振动方程与速度

振动方程

将 $x = 100 \, \text{m}$ 代入波动方程：
$y_1 = A\cos\left[2\pi\left(250t + \frac{100}{200}\right) + \frac{\pi}{4}\right] = A\cos\left(500\pi t + \frac{5\pi}{4}\right).$

振动速度

对振动方程求导得速度：
$v = -A\omega\sin\left(500\pi t + \frac{5\pi}{4}\right) = -500\pi A\sin\left(500\pi t + \frac{5\pi}{4}\right).$