题目
1.图 7-8 所示为一平面简谐波在 t=0 时刻的波形图,设此简谐波的频率-|||-为250Hz,且此时质点P的运动方向向下,求:-|||-(1)该波的波动方程;-|||-(2)在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度表达式。-|||-sqrt (2)A/2-|||-P-|||-0 x/m-|||--A 100m-|||-图 7-8
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的传播方向
由质点P的运动方向向下，可以判断该波向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\dfrac {\sqrt {2}}{2}A$，即$y_0 = A\cos \varphi$，由此可得$\varphi = \dfrac {\pi }{4}$。同时，质点P的运动方向向下，即速度$v_0 = -A\omega \sin \varphi < 0$，这与$\varphi = \dfrac {\pi }{4}$相符合。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos (500\pi t + \dfrac {\pi }{4})$。
步骤 3：确定波动方程
波动方程为$y = A\cos [2\pi (250t + \dfrac {x}{200}) + \dfrac {\pi }{4}]$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程
将x=100m代入波动方程，得到距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos (500\pi t + \dfrac {5\pi }{4})$。
步骤 5：确定距原点O为100m处质点的振动速度表达式
振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin (500\pi t + \dfrac {5\pi }{4})$。
由质点P的运动方向向下，可以判断该波向左传播。
步骤 2：确定原点O处质点的振动方程
在t=0时刻，原点O处质点的位移为$\dfrac {\sqrt {2}}{2}A$，即$y_0 = A\cos \varphi$，由此可得$\varphi = \dfrac {\pi }{4}$。同时，质点P的运动方向向下，即速度$v_0 = -A\omega \sin \varphi < 0$，这与$\varphi = \dfrac {\pi }{4}$相符合。因此，原点O处质点的振动方程为$y_0 = A\cos (500\pi t + \dfrac {\pi }{4})$。
步骤 3：确定波动方程
波动方程为$y = A\cos [2\pi (250t + \dfrac {x}{200}) + \dfrac {\pi }{4}]$。
步骤 4：确定距原点O为100m处质点的振动方程
将x=100m代入波动方程，得到距原点O为100m处质点的振动方程为$y_1 = A\cos (500\pi t + \dfrac {5\pi }{4})$。
步骤 5：确定距原点O为100m处质点的振动速度表达式
振动速度表达式为$v = -500\pi A\sin (500\pi t + \dfrac {5\pi }{4})$。