题目
2-15 一质点沿x轴运动,其所受的力如图所示.设 t=0 时, _(0)=5mcdot (s)^-1,-|||-_(0)=2m. 质点质量 =1kg 试求该质点7s末的速度和位置坐标.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定力随时间变化的函数
根据题目中给出的力随时间变化的图示，可以确定力随时间变化的函数。在0到5秒的时间段内，力随时间线性增加，表达式为 $F(t) = 2t$。在5到7秒的时间段内，力随时间线性减少，表达式为 $F(t) = 35 - 5t$。
步骤 2：计算加速度
根据牛顿第二定律 $F = ma$，可以计算出加速度。在0到5秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 2t$。在5到7秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 35 - 5t$。
步骤 3：计算速度
根据加速度的定义 $a = \frac{dv}{dt}$，可以计算出速度。在0到5秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t dt = t^2 + C$。由于 $v(0) = 5$，可以确定 $C = 5$，因此 $v(t) = t^2 + 5$。在5到7秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int (35 - 5t) dt = 35t - 2.5t^2 + C$。由于 $v(5) = 30$，可以确定 $C = -82.5$，因此 $v(t) = 35t - 2.5t^2 - 82.5$。
步骤 4：计算位置
根据速度的定义 $v = \frac{dx}{dt}$，可以计算出位置。在0到5秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 5) dt = \frac{1}{3}t^3 + 5t + C$。由于 $x(0) = 2$，可以确定 $C = 2$，因此 $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 5t + 2$。在5到7秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (35t - 2.5t^2 - 82.5) dt = 17.5t^2 - \frac{2.5}{3}t^3 - 82.5t + C$。由于 $x(5) = 68.7$，可以确定 $C = 147.87$，因此 $x(t) = 17.5t^2 - \frac{2.5}{3}t^3 - 82.5t + 147.87$。
步骤 5：计算7秒末的速度和位置
将 $t = 7$ 代入速度和位置的表达式中，可以计算出7秒末的速度和位置。速度为 $v(7) = 35 \times 7 - 2.5 \times 7^2 - 82.5 = 40$ m/s。位置为 $x(7) = 17.5 \times 7^2 - \frac{2.5}{3} \times 7^3 - 82.5 \times 7 + 147.87 = 142$ m。
根据题目中给出的力随时间变化的图示，可以确定力随时间变化的函数。在0到5秒的时间段内，力随时间线性增加，表达式为 $F(t) = 2t$。在5到7秒的时间段内，力随时间线性减少，表达式为 $F(t) = 35 - 5t$。
步骤 2：计算加速度
根据牛顿第二定律 $F = ma$，可以计算出加速度。在0到5秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 2t$。在5到7秒的时间段内，加速度为 $a(t) = \frac{F(t)}{m} = 35 - 5t$。
步骤 3：计算速度
根据加速度的定义 $a = \frac{dv}{dt}$，可以计算出速度。在0到5秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t dt = t^2 + C$。由于 $v(0) = 5$，可以确定 $C = 5$，因此 $v(t) = t^2 + 5$。在5到7秒的时间段内，速度为 $v(t) = \int a(t) dt = \int (35 - 5t) dt = 35t - 2.5t^2 + C$。由于 $v(5) = 30$，可以确定 $C = -82.5$，因此 $v(t) = 35t - 2.5t^2 - 82.5$。
步骤 4：计算位置
根据速度的定义 $v = \frac{dx}{dt}$，可以计算出位置。在0到5秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 5) dt = \frac{1}{3}t^3 + 5t + C$。由于 $x(0) = 2$，可以确定 $C = 2$，因此 $x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 5t + 2$。在5到7秒的时间段内，位置为 $x(t) = \int v(t) dt = \int (35t - 2.5t^2 - 82.5) dt = 17.5t^2 - \frac{2.5}{3}t^3 - 82.5t + C$。由于 $x(5) = 68.7$，可以确定 $C = 147.87$，因此 $x(t) = 17.5t^2 - \frac{2.5}{3}t^3 - 82.5t + 147.87$。
步骤 5：计算7秒末的速度和位置
将 $t = 7$ 代入速度和位置的表达式中，可以计算出7秒末的速度和位置。速度为 $v(7) = 35 \times 7 - 2.5 \times 7^2 - 82.5 = 40$ m/s。位置为 $x(7) = 17.5 \times 7^2 - \frac{2.5}{3} \times 7^3 - 82.5 \times 7 + 147.87 = 142$ m。