题目
19.如图所示,定滑轮半径为R,转动惯量为J,轻绳绕过滑轮,一端与固定的轻弹簧连-|||-接,弹簧的倔强系数为k;另一端挂一质量为m的物体。现将m从平衡位置向下拉-|||-一微小距离后放手,试证物体作简谐振动,并求其振动周期(设绳与滑轮间无滑动,轴-|||-的摩擦及空气阻力忽略不计)。-|||-R-|||-k-|||-m-|||-m-|||-计算题_19图示
题目解答
答案
解析
步骤 1：物体的运动方程
物体在重力和弹簧力的作用下运动，根据牛顿第二定律，物体的运动方程为：
$$mg - T_1 = m \frac{d^2x}{dt^2}$$
其中，$T_1$ 是绳子对物体的拉力，$x$ 是物体相对于平衡位置的位移，$m$ 是物体的质量，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：滑轮的转动方程
滑轮在绳子拉力的作用下转动，根据转动定律，滑轮的转动方程为：
$$(T_1 - T_2)R = J \frac{d^2\theta}{dt^2}$$
其中，$T_2$ 是弹簧对绳子的拉力，$J$ 是滑轮的转动惯量，$\theta$ 是滑轮的角位移，$R$ 是滑轮的半径。
步骤 3：弹簧的力方程
弹簧的力与位移成正比，根据胡克定律，弹簧的力方程为：
$$T_2 = k(x + x_0)$$
其中，$k$ 是弹簧的倔强系数，$x_0$ 是弹簧的初始伸长量，满足 $kx_0 = mg$。
步骤 4：联立方程求解
将步骤 1、2、3 中的方程联立，消去 $T_1$ 和 $T_2$，得到物体的运动微分方程：
$$m \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{J}{R^2} \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$
化简得到：
$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}} x = 0$$
令 $\omega^2 = \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}}$，则物体的运动微分方程为：
$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$
这表明物体作简谐振动。
步骤 5：求解振动周期
简谐振动的周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为：
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
代入 $\omega^2 = \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}}$，得到振动周期：
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m + \frac{J}{R^2}}{k}}$$
物体在重力和弹簧力的作用下运动，根据牛顿第二定律，物体的运动方程为：
$$mg - T_1 = m \frac{d^2x}{dt^2}$$
其中，$T_1$ 是绳子对物体的拉力，$x$ 是物体相对于平衡位置的位移，$m$ 是物体的质量，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：滑轮的转动方程
滑轮在绳子拉力的作用下转动，根据转动定律，滑轮的转动方程为：
$$(T_1 - T_2)R = J \frac{d^2\theta}{dt^2}$$
其中，$T_2$ 是弹簧对绳子的拉力，$J$ 是滑轮的转动惯量，$\theta$ 是滑轮的角位移，$R$ 是滑轮的半径。
步骤 3：弹簧的力方程
弹簧的力与位移成正比，根据胡克定律，弹簧的力方程为：
$$T_2 = k(x + x_0)$$
其中，$k$ 是弹簧的倔强系数，$x_0$ 是弹簧的初始伸长量，满足 $kx_0 = mg$。
步骤 4：联立方程求解
将步骤 1、2、3 中的方程联立，消去 $T_1$ 和 $T_2$，得到物体的运动微分方程：
$$m \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{J}{R^2} \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$
化简得到：
$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}} x = 0$$
令 $\omega^2 = \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}}$，则物体的运动微分方程为：
$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$$
这表明物体作简谐振动。
步骤 5：求解振动周期
简谐振动的周期 $T$ 与角频率 $\omega$ 的关系为：
$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$
代入 $\omega^2 = \frac{k}{m + \frac{J}{R^2}}$，得到振动周期：
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m + \frac{J}{R^2}}{k}}$$