题目
如图所示，一 半径为R1，带电量R1均匀带电球体，外面包围一同心的，半径R1的均匀带电球面，其带电量为R1，在距离球心距离为R1R_2)" data-width="92" data-height="26" data-size="1526" data-format="png" style="max-width:100%">处放一个带 电量为R1的正试验点电荷。求 ( 1 ) 利用高斯定理计算 R1 ,R1R_2" data-width="64" data-height="23" data-size="1130" data-format="png" style="max-width:100%">两个区域的电场强度分布；( 2 ) 如果选择无穷远处为电势能零点，求正试验点电荷R1具有的电势能。R1
如图所示，一 半径为
，带电量
均匀带电球体，外面包围一同心的，半径
的均匀带电球面，其带电量为
，在距离球心距离为
处放一个带 电量为
的正试验点电荷。求 ( 1 ) 利用高斯定理计算 
,
两个区域的电场强度分布；( 2 ) 如果选择无穷远处为电势能零点，求正试验点电荷具有的电势能。
题目解答
答案
（1）由
可得，当 ，
；
时，
；
时，
。
（2）
，
。。
解析
步骤 1：确定高斯面
为了计算电场强度分布，我们首先需要确定高斯面。根据题目，我们需要计算两个区域的电场强度分布：${R}_{1}\lt d\lt {R}_{2}$ 和 $d\gt {R}_{2}$。对于这两个区域，我们分别选择半径为 $d$ 的同心球面作为高斯面。
步骤 2：应用高斯定理
高斯定理表明，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 ${\varepsilon }_{0}$。即 $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}$，其中 $Q_{\text{enc}}$ 是闭合曲面内包含的总电荷量。
步骤 3：计算 ${R}_{1}\lt d\lt {R}_{2}$ 区域的电场强度
在这个区域内，高斯面内包含的电荷量为均匀带电球体的电荷量 ${Q}_{1}$。因此，根据高斯定理，我们有 $4\pi {d}^{2}E=\frac{{Q}_{1}}{{\varepsilon }_{0}}$。解得电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$。
步骤 4：计算 $d\gt {R}_{2}$ 区域的电场强度
在这个区域内，高斯面内包含的电荷量为均匀带电球体和均匀带电球面的总电荷量 ${Q}_{1}+{Q}_{2}$。因此，根据高斯定理，我们有 $4\pi {d}^{2}E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{{\varepsilon }_{0}}$。解得电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$。
步骤 5：计算正试验点电荷的电势能
选择无穷远处为电势能零点，正试验点电荷的电势能等于它从无穷远处移动到距离球心 $r$ 处时电场力所做的功。根据电势能的定义，我们有 $U=\int_{\infty }^{r}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{\infty }^{r}q_{0}E\cdot dl$。将电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$ 代入上式，得到 $U=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\int_{\infty }^{r}\frac{q_{0}}{d^{2}}dl=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\frac{q_{0}}{r}$。
为了计算电场强度分布，我们首先需要确定高斯面。根据题目，我们需要计算两个区域的电场强度分布：${R}_{1}\lt d\lt {R}_{2}$ 和 $d\gt {R}_{2}$。对于这两个区域，我们分别选择半径为 $d$ 的同心球面作为高斯面。
步骤 2：应用高斯定理
高斯定理表明，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面内包含的总电荷量除以真空介电常数 ${\varepsilon }_{0}$。即 $\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}$，其中 $Q_{\text{enc}}$ 是闭合曲面内包含的总电荷量。
步骤 3：计算 ${R}_{1}\lt d\lt {R}_{2}$ 区域的电场强度
在这个区域内，高斯面内包含的电荷量为均匀带电球体的电荷量 ${Q}_{1}$。因此，根据高斯定理，我们有 $4\pi {d}^{2}E=\frac{{Q}_{1}}{{\varepsilon }_{0}}$。解得电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$。
步骤 4：计算 $d\gt {R}_{2}$ 区域的电场强度
在这个区域内，高斯面内包含的电荷量为均匀带电球体和均匀带电球面的总电荷量 ${Q}_{1}+{Q}_{2}$。因此，根据高斯定理，我们有 $4\pi {d}^{2}E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{{\varepsilon }_{0}}$。解得电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$。
步骤 5：计算正试验点电荷的电势能
选择无穷远处为电势能零点，正试验点电荷的电势能等于它从无穷远处移动到距离球心 $r$ 处时电场力所做的功。根据电势能的定义，我们有 $U=\int_{\infty }^{r}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{l}=\int_{\infty }^{r}q_{0}E\cdot dl$。将电场强度 $E=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}{d}^{2}}$ 代入上式，得到 $U=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\int_{\infty }^{r}\frac{q_{0}}{d^{2}}dl=\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\frac{q_{0}}{r}$。