题目

质点在半径0.4m的圆形轨道上自静止开始做匀角加速转动,=0.2rad|s2,经过( )s切向加速度与加速度成=0.2rad|s2。

质点在半径0.4m的圆形轨道上自静止开始做匀角加速转动, $\alpha=0.2rad/s2$ ,经过( )s切向加速度与加速度成 $45^{\circ}$ 。

题目解答

答案

质点在半径为 $0.4 \, \text{m}$ 的圆形轨道上做匀角加速转动，给定角加速度 $\alpha = 0.2 \, \text{rad/s}^2$ 。

切向加速度 $a_t$ 由圆周运动的加速度公式给出： $a_t=r\alpha$

其中，r是半径， $\alpha$ 是角加速度。代入数值得到切向加速度：

$a_t = 0.4 \times 0.2 = 0.08 \, \text{m/s}^2$

加速度a的大小是圆周运动加速度的大小，而方向指向轨道的中心。根据问题描述， $a_t$ 和 a 成 $45^{\circ}$ 。因为这是一个匀角加速转动，所以 $a_t$ 和a 的方向始终保持一致。因此，与 $a_t$ 和a 成 $45^{\circ}$ 的时间持续到加速转动结束时。

在匀角加速转动中，角速度 $\omega$ 与时间t之间的关系为：

$\omega=\omega_0+\alpha t$

质点初始静止，因此初始角速度 $\omega_0=0$ 。将给定的角加速度和半径代入上式，解得：

$\omega=0.2t$

根据题意，切向加速度 $a_t$ 和加速度 a成 $45^{\circ}$ ,因此 $a_t$ 和a之间的关系为：

$a=\frac{a_t}{\cos45^{\circ}}=\sqrt{2}a_t$

将 $a_t$ 的表达式代入，得到：

$0.08=\sqrt{2}\times0.08t$

解方程，得到 $t=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 秒。

解析

步骤 1：确定切向加速度
切向加速度由圆周运动的加速度公式给出：$a_t = r\alpha$，其中$r$是半径，$\alpha$是角加速度。代入数值得到切向加速度：$a_t = 0.4 \times 0.2 = 0.08m/s^2$。
步骤 2：确定加速度a的大小
加速度$a$的大小是圆周运动加速度的大小，而方向指向轨道的中心。根据问题描述，$a_t$和$a$成45°。因为这是一个匀角加速转动，所以$a_t$和$a$的方向始终保持一致。因此，$a_t$与$a$成45°的时间持续到加速转动结束时。
步骤 3：确定角速度与时间的关系
在匀角加速转动中，角速度与时间$t$之间的关系为：$v = v_0 + \alpha t$。质点初始静止，因此初始角速度$v_0 = 0$。将给定的角加速度和半径代入上式，解得：$v = 0.2t$。
步骤 4：确定切向加速度和加速度a之间的关系
根据题意，切向加速度和加速度$a$成45°，因此$a_t$和$a$之间的关系为：$a_t = \frac{a_t}{\cos 45^\circ} = \sqrt{2}a_t$。将$a_t$的表达式代入，得到：$0.08 = \sqrt{2} \times 0.08t$。
步骤 5：解方程
解方程，得到$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$秒。