题目
11-4 在一个电量为Q、半径为R的均匀带电球中,沿某一直径挖一条隧道,另有一质量为m、电量为 -9-|||-的微粒在这个隧道中运动。试证明该微粒的运动是简谐振动,并求出振动周期(假设均匀带电球体的介电常-|||-数为ε0)。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微粒在隧道中的受力
微粒在隧道中受到的力是由于球体内部的电荷分布产生的电场力。根据高斯定理，球体内部的电场与距离球心的距离成正比，即 $E(r) = \frac{Qr}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$，其中 $r$ 是微粒到球心的距离。
步骤 2：写出微粒的运动方程
微粒受到的电场力为 $F = -qE(r) = -\frac{qQr}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$，其中 $q$ 是微粒的电荷量。根据牛顿第二定律，微粒的加速度 $a = \frac{F}{m} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$。因此，微粒的运动方程为 $\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$。
步骤 3：证明微粒的运动是简谐振动
微粒的运动方程 $\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$ 是一个简谐振动方程，其中 $\omega^2 = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}$。因此，微粒的运动是简谐振动。
步骤 4：求出振动周期
简谐振动的周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$，其中 $k = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$。因此，振动周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi \varepsilon_0 m R^3}{qQ}}$。
微粒在隧道中受到的力是由于球体内部的电荷分布产生的电场力。根据高斯定理，球体内部的电场与距离球心的距离成正比，即 $E(r) = \frac{Qr}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$，其中 $r$ 是微粒到球心的距离。
步骤 2：写出微粒的运动方程
微粒受到的电场力为 $F = -qE(r) = -\frac{qQr}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$，其中 $q$ 是微粒的电荷量。根据牛顿第二定律，微粒的加速度 $a = \frac{F}{m} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$。因此，微粒的运动方程为 $\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$。
步骤 3：证明微粒的运动是简谐振动
微粒的运动方程 $\frac{d^2r}{dt^2} = -\frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}r$ 是一个简谐振动方程，其中 $\omega^2 = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 m R^3}$。因此，微粒的运动是简谐振动。
步骤 4：求出振动周期
简谐振动的周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$，其中 $k = \frac{qQ}{4\pi \varepsilon_0 R^3}$。因此，振动周期 $T = 2\pi \sqrt{\frac{4\pi \varepsilon_0 m R^3}{qQ}}$。