1-9 质点从静止出发沿半径 R=3m 的圆周做匀变速运动,切向加速度 _(i)=3mcdot (s)^-2 问:-|||-(1)经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成45°角?(2)在上述时间内,质点所经历的角-|||-位移和路程各为多少?

考查要点：本题主要考查圆周运动中匀变速运动的加速度合成及运动学公式的应用。
解题核心思路：

1. 总加速度方向与半径夹角为45°时，切向加速度$a_t$与法向加速度$a_n$大小相等，由此建立方程求解时间。
2. 角位移和路程需分别通过匀加速直线运动的位移公式计算，再结合圆周运动的几何关系转换。

破题关键点：

• 加速度分解：总加速度由切向加速度$a_t$和法向加速度$a_n$组成，两者垂直。
• 速度与时间关系：匀变速运动中$v = a_t \cdot t$。
• 法向加速度公式：$a_n = \frac{v^2}{R}$，当$a_n = a_t$时，可解出时间$t$。

第（1）题

总加速度方向与半径成45°角的条件
总加速度$\vec{a}$由切向加速度$\vec{a}_t$和法向加速度$\vec{a}_n$合成。当$\vec{a}$与半径夹角为45°时，$\vec{a}_t$与$\vec{a}_n$大小相等，即：
$a_t = a_n$
法向加速度表达式
法向加速度为：
$a_n = \frac{v^2}{R}$
速度与时间关系
匀变速运动中，速度$v = a_t \cdot t$，代入$a_n = a_t$得：
$\frac{(a_t \cdot t)^2}{R} = a_t$
解方程求时间
整理方程：
$\frac{a_t^2 t^2}{R} = a_t \implies t^2 = \frac{R}{a_t} \implies t = \sqrt{\frac{R}{a_t}}$
代入$R=3\,\text{m}$，$a_t=3\,\text{m/s}^2$：
$t = \sqrt{\frac{3}{3}} = 1\,\text{s}$

第（2）题

路程计算
质点做匀加速直线运动，路程$s$为：
$s = \frac{1}{2} a_t t^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1^2 = 1.5\,\text{m}$
角位移计算
角位移$\theta$与路程关系为：
$\theta = \frac{s}{R} = \frac{1.5}{3} = 0.5\,\text{rad}$