1.弦在阻尼介质中振动,单位长度的弦所受阻力 =-(R)_(u) (比例常数R叫阻尼系数).试写-|||-出弦在这阻尼介质中的振动方程.-|||-2.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x处的点在时刻t-|||-离开原来位置的偏移,假设振动过程中所发生的张力服从胡克定律,试证明u (x,t)满足-|||-方程:-|||-dfrac (partial )(partial t)(rho (x)dfrac (partial u)(partial t))=dfrac (partial )(partial x)(Edfrac (partial u)(partial x)),-|||-其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.

步骤 1：考虑弦的振动方程
弦的振动方程在没有阻尼的情况下是波动方程，即 ${u}_{tt}={a}^{2}{u}_{xx}$，其中 $a$ 是波速。
步骤 2：引入阻尼项
在阻尼介质中，单位长度的弦所受阻力为 $Y=-R{u}_{t}$，其中 $R$ 是阻尼系数。阻力项需要加到振动方程中。
步骤 3：写出阻尼振动方程
将阻力项 $-R{u}_{t}$ 加入到振动方程中，得到 ${u}_{tt}-{a}^{2}{u}_{xx}=-\dfrac {R}{\rho }{u}_{t}$，其中 $\rho$ 是弦的线密度。
【答案】
${u}_{tt}-{a}^{2}{u}_{xx}=-\dfrac {R}{\rho }{u}_{t}$

2. 细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动的方程推导
【解析】
步骤 1：考虑胡克定律
胡克定律表明，细杆或弹簧的张力与位移成正比，即 $F=-E\dfrac {\partial u}{\partial x}$，其中 $E$ 是杨氏模量。
步骤 2：考虑牛顿第二定律
牛顿第二定律表明，细杆或弹簧的加速度与作用力成正比，即 $\rho (x)\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}=\dfrac {\partial F}{\partial x}$。
步骤 3：将胡克定律代入牛顿第二定律
将胡克定律中的张力 $F$ 代入牛顿第二定律，得到 $\rho (x)\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}=\dfrac {\partial }{\partial x}(E\dfrac {\partial u}{\partial x})$。