题目
1-1-1 真空中有一密度为 pi rcm 的无限长线电荷沿y轴放置,另有密度分别为-|||-.1nC/(m)^2 和 -0.1nC/(m)^2 的无限大带电平面分别位于 z=3m 和 z=-4m 处。试求P点-|||-(1,7,2)的电场强度E。-|||-1-1-2 一充满电荷(电荷体密度为常数ρ0)的球,证明球内各点场强与到球心的距-|||-离成正比。-|||-1-1-3 已知电位函数 varphi =dfrac (10)(x+{y)^2+(z)^3} 试求E,并计算在(0,0,2)及(5,3,2)点处的-|||-E值。-|||-1-1-4 证明两等量而异号的长直平行线电荷场中的等位面是一组圆柱面。-|||-↑y P-|||-个-|||-/-|||-1ρ-|||-1-|||-φ-|||-+v-|||-d O d x-|||-题 1-1-4 图 等量异号平行线电荷
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算无限长线电荷产生的电场强度
无限长线电荷产生的电场强度公式为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}r}$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$r$ 是点到线电荷的距离。对于P点，$r=\sqrt {{x}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt {{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt {5}$。因此，无限长线电荷产生的电场强度为 $E_{1}=\dfrac {2\pi \times 10^{-9}}{2\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times \sqrt {5}}\approx 22.6V/m$，方向沿径向。
步骤 2：计算无限大带电平面产生的电场强度
无限大带电平面产生的电场强度公式为 $E=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}$，其中 $\sigma$ 是面电荷密度，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。对于P点，面电荷密度分别为 $0.1nC/{m}^{2}$ 和 $-0.1nC/{m}^{2}$，因此，无限大带电平面产生的电场强度为 $E_{2}=\dfrac {0.1\times 10^{-9}}{2\times 8.85\times 10^{-12}}\approx 5.65V/m$，方向垂直于平面。由于P点位于两个平面之间，因此两个平面产生的电场强度方向相反，总电场强度为 $E_{2}=5.65V/m$。
步骤 3：计算P点的总电场强度
P点的总电场强度为无限长线电荷和无限大带电平面产生的电场强度的矢量和。由于无限长线电荷产生的电场强度方向沿径向，无限大带电平面产生的电场强度方向垂直于平面，因此，P点的总电场强度为 $E=\sqrt {{E_{1}}^{2}+{E_{2}}^{2}}=\sqrt {{22.6}^{2}+{5.65}^{2}}\approx 23.2V/m$，方向为 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 的合成方向。
无限长线电荷产生的电场强度公式为 $E=\dfrac {\lambda }{2\pi {\varepsilon }_{0}r}$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$r$ 是点到线电荷的距离。对于P点，$r=\sqrt {{x}^{2}+{z}^{2}}=\sqrt {{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt {5}$。因此，无限长线电荷产生的电场强度为 $E_{1}=\dfrac {2\pi \times 10^{-9}}{2\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times \sqrt {5}}\approx 22.6V/m$，方向沿径向。
步骤 2：计算无限大带电平面产生的电场强度
无限大带电平面产生的电场强度公式为 $E=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}$，其中 $\sigma$ 是面电荷密度，${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数。对于P点，面电荷密度分别为 $0.1nC/{m}^{2}$ 和 $-0.1nC/{m}^{2}$，因此，无限大带电平面产生的电场强度为 $E_{2}=\dfrac {0.1\times 10^{-9}}{2\times 8.85\times 10^{-12}}\approx 5.65V/m$，方向垂直于平面。由于P点位于两个平面之间，因此两个平面产生的电场强度方向相反，总电场强度为 $E_{2}=5.65V/m$。
步骤 3：计算P点的总电场强度
P点的总电场强度为无限长线电荷和无限大带电平面产生的电场强度的矢量和。由于无限长线电荷产生的电场强度方向沿径向，无限大带电平面产生的电场强度方向垂直于平面，因此，P点的总电场强度为 $E=\sqrt {{E_{1}}^{2}+{E_{2}}^{2}}=\sqrt {{22.6}^{2}+{5.65}^{2}}\approx 23.2V/m$，方向为 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 的合成方向。