15.（填空题，5.0分）对一级不可逆反应，采用多级全混流反应器串联时，若各釜反应条件相同（等温、等容），则要使总的反应体积最小，必需的条件是______.

本题考查一级不可逆反应在多级全混流反应器串联时使总反应体积最小的条件，解题思路是先推导出多级全混流反应器串联时总反应体积的表达式，再通过数学方法分析使总反应体积最小的条件。

1. 推导单级全混流反应器的体积公式

对于一级不可逆反应 $A \rightarrow P$，其反应速率方程为 $-r_A = kC_A$。
在全混流反应器中，物料达到完全混合，出口浓度等于反应器内浓度 $C_{A,n}$。
根据全混流反应器的设计方程 $\tau_n=\frac{V_n}{v_0}=\frac{C_{A,n - 1}-C_{A,n}}{-r_{A,n}}$，将 $-r_{A,n}=kC_{A,n}$ 代入可得：
$\frac{V_n}{v_0}=\frac{C_{A,n - 1}-C_{A,n}}{kC_{A,n}}$
整理得 $V_n=\frac{v_0}{k}(\frac{C_{A,n - 1}}{C_{A,n}} - 1)$。

2. 推导多级全混流反应器串联的总反应体积公式

设共有 $N$ 个全混流反应器串联，各釜的进料体积流量为 $v_0$，反应速率常数为 $k$，各釜的进料浓度分别为 $C_{A,0},C_{A,1},\cdots,C_{A,N - 1}$，出口浓度分别为 $C_{A,1},C_{A,2},\cdots,C_{A,N}$。
则总反应体积 $V_{total}=\sum_{n = 1}^{N}V_n=\frac{v_0}{k}\sum_{n = 1}^{N}(\frac{C_{A,n - 1}}{C_{A,n}} - 1)$。

3. 分析使总反应体积最小的条件

为了使总反应体积最小，需要对级数式进行优化。根据数学原理，当各釜的反应体积相等时，即 $V_1 = V_2=\cdots=V_N$ 时，总反应体积最小。
因为 $V_n=\frac{v_0}{k}(\frac{C_{A,n - 1}}{C_{A,n}} - 1)$，若 $V_1 = V_2=\cdots=V_N$，则 $\frac{C_{A,0}}{C_{A,1}}=\frac{C_{A,1}}{C_{A,2}}=\cdots=\frac{C_{A,N - 1}}{C_{A,N}}$，此时总反应体积达到最小。