一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式为_(1)=0.3cos (5t+pi /3); _(2)=0.4cos (5t+pi /6)写出该质点的合振动表达式
一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式为
写出该质点的合振动表达式
题目解答
答案
要求写出质点的合振动表达式，我们需要将两个简谐振动的位移函数相加。
给定的两个简谐振动的位移函数分别为：
我们可以使用三角恒等式将这两个位移函数相加。三角恒等式中的和差公式可以表示为：
将
和
代入和差公式中，我们可以得到合振动的位移函数：
根据三角函数的性质，我们可以将
和
以及
和
展开为具体的数值：
将这些数值代入合振动的位移函数中，我们可以得到最终的合振动表达式：
所以，该质点的合振动表达式为：
解析
考查要点：本题主要考查同频率简谐振动的合成方法，需要将两个简谐振动的位移表达式相加，并通过三角恒等式展开合并，得到合振动的表达式。
解题核心思路：
- 同频率简谐振动的合成：由于两个简谐振动的角频率相同（均为$5$），合振动仍为同频率的简谐振动。
- 展开并合并同类项：利用余弦和角公式$\cos(A+B)=\cos A\cos B - \sin A\sin B$，将两个振动的表达式展开为$\cos(5t)$和$\sin(5t)$的线性组合，再合并系数。
破题关键点：
- 正确应用三角恒等式，将两个余弦函数展开为$\cos(5t)$和$\sin(5t)$的线性组合。
- 准确计算系数，注意三角函数值（如$\cos(\pi/3)=0.5$，$\sin(\pi/6)=0.5$）的代入和代数运算。
将两个简谐振动的位移表达式相加，并展开合并：
-
展开$x_1$和$x_2$
根据余弦和角公式：
$\begin{aligned} x_1 &= 0.3\cos(5t+\pi/3) \\ &= 0.3\left[\cos(5t)\cos(\pi/3) - \sin(5t)\sin(\pi/3)\right] \\ &= 0.3\left[0.5\cos(5t) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(5t)\right], \\ x_2 &= 0.4\cos(5t+\pi/6) \\ &= 0.4\left[\cos(5t)\cos(\pi/6) - \sin(5t)\sin(\pi/6)\right] \\ &= 0.4\left[\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(5t) - 0.5\sin(5t)\right]. \end{aligned}$ -
合并$\cos(5t)$和$\sin(5t)$的系数
将$x_1$和$x_2$相加：
$\begin{aligned} x &= x_1 + x_2 \\ &= 0.3 \cdot 0.5 \cos(5t) - 0.3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(5t) \\ &\quad + 0.4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(5t) - 0.4 \cdot 0.5 \sin(5t) \\ &= \left(0.15 + 0.2\sqrt{3}\right)\cos(5t) \\ &\quad + \left(-0.15\sqrt{3} - 0.2\right)\sin(5t). \end{aligned}$