1-7 在Oxy平面内有一个运动的质点,其运动函数为 =3tan i+10(t)^2j(SI), 求:-|||-(1)t时刻的速度。-|||-(2)切向加速度和法向加速度的大小。-|||-(3)该质点运动的轨迹方程。

考查要点：本题主要考查质点运动学的基本概念，包括速度、加速度的计算，以及轨迹方程的求解方法。
解题思路：

1. 速度：通过对位置矢量关于时间求导得到。
2. 切向加速度和法向加速度：需先求出加速度矢量，再通过速度与加速度的分解计算。关键点是利用速度的模长和向量运算（点积、叉积）分解加速度。
3. 轨迹方程：通过消去参数时间$t$，建立$x$与$y$的关系式。

第（1）题：求速度

步骤：

1. 对位置矢量求导：
   位置矢量$r = 3t \mathbf{i} + 10t^2 \mathbf{j}$，对时间$t$求导得速度：
   $\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = 3 \mathbf{i} + 20t \mathbf{j} \, \text{m·s}^{-1}$

第（2）题：求切向加速度和法向加速度

步骤：

1. 求加速度矢量：
   对速度$\mathbf{v}$求导得加速度：
   $\mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = 20 \mathbf{j} \, \text{m·s}^{-2}$
2. 计算速度的模长：
   $|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + (20t)^2} = \sqrt{9 + 400t^2}$
3. 切向加速度：
   切向加速度为速度与加速度的点积除以速度的模长：
   $a_t = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}}{|\mathbf{v}|} = \frac{3 \cdot 0 + 20t \cdot 20}{\sqrt{9 + 400t^2}} = \frac{400t}{\sqrt{9 + 400t^2}}$
4. 法向加速度：
   法向加速度为速度与加速度的叉积的模长除以速度的模长：
   $a_n = \frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|3 \cdot 20 - 20t \cdot 0|}{\sqrt{9 + 400t^2}} = \frac{60}{\sqrt{9 + 400t^2}}$

第（3）题：求轨迹方程

步骤：

1. 消去参数$t$：
   由$x = 3t$得$t = \frac{x}{3}$，代入$y = 10t^2$得：
   $y = 10 \left( \frac{x}{3} \right)^2 = \frac{10}{9}x^2$