题目
一正方形的四个顶点上各有一个电量为q的点电荷，各点电荷到正方形中心O的距离均为r。试求：( 1 ) 正方形中心O点的场强和电势; ( 2 ) 从无限远处将带电量为的点电荷移至O点电场力需做功。
一正方形的四个顶点上各有一个电量为q的点电荷，各点电荷到正方形中心O的距离均为r。试求：
( 1 ) 正方形中心O点的场强和电势;
( 2 ) 从无限远处将带电量为
的点电荷移至O点电场力需做功。
题目解答
答案
设四个顶点分别为A、B、C、D。处于对角线两点的点电荷根据电场强度计算公式
所以A点在O点产生的电场强度为
C点在O点产生的电场强度为
，根据同种电荷相互排斥故A、C两点在O点产生的电场强度方向相反，又因为它们的大小相等，故合场强为0，处于对角线两点的点电荷根据电场强度计算公式所以B点在O点产生的电场强度为
D点在O点产生的电场强度为
，根据同种电荷相互排斥故B、D两点在O点产生的电场强度方向相反，又因为它们的大小相等，故合场强为0。所以O点的电场强度为0。
根据电势计算公式：
故O点的电势为
（4是因为有四个电荷）
（2）设无穷远的电势为0V，所以运动过程中电势差为
根据电场力做功公式：
将其中数据代入即可求出电场力做的功为
解析
步骤 1：计算正方形中心O点的场强
根据电场强度的叠加原理，正方形四个顶点上的点电荷在中心O点产生的电场强度可以分别计算，然后进行矢量叠加。由于正方形的对称性，对角线上的两个点电荷在O点产生的电场强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的合场强为0。同理，另外两个对角线上的点电荷在O点的合场强也为0。因此，正方形中心O点的场强为0。
步骤 2：计算正方形中心O点的电势
根据电势的叠加原理，正方形四个顶点上的点电荷在中心O点产生的电势可以分别计算，然后进行代数叠加。由于正方形的对称性，四个点电荷在O点产生的电势大小相等，方向相同，因此它们在O点的合电势为$4k\dfrac{q}{r}$，其中$k$是库仑常数，$q$是点电荷的电量，$r$是点电荷到O点的距离。
步骤 3：计算从无限远处将带电量为$q_0$的点电荷移至O点电场力需做功
根据电场力做功的公式$W = q_0 \Delta V$，其中$\Delta V$是从无限远处到O点的电势差。由于无限远处的电势为0，因此$\Delta V = 4k\dfrac{q}{r}$。将$q_0$和$\Delta V$代入公式，得到电场力做的功为$W = q_0 \cdot 4k\dfrac{q}{r}$。
根据电场强度的叠加原理，正方形四个顶点上的点电荷在中心O点产生的电场强度可以分别计算，然后进行矢量叠加。由于正方形的对称性，对角线上的两个点电荷在O点产生的电场强度大小相等，方向相反，因此它们在O点的合场强为0。同理，另外两个对角线上的点电荷在O点的合场强也为0。因此，正方形中心O点的场强为0。
步骤 2：计算正方形中心O点的电势
根据电势的叠加原理，正方形四个顶点上的点电荷在中心O点产生的电势可以分别计算，然后进行代数叠加。由于正方形的对称性，四个点电荷在O点产生的电势大小相等，方向相同，因此它们在O点的合电势为$4k\dfrac{q}{r}$，其中$k$是库仑常数，$q$是点电荷的电量，$r$是点电荷到O点的距离。
步骤 3：计算从无限远处将带电量为$q_0$的点电荷移至O点电场力需做功
根据电场力做功的公式$W = q_0 \Delta V$，其中$\Delta V$是从无限远处到O点的电势差。由于无限远处的电势为0，因此$\Delta V = 4k\dfrac{q}{r}$。将$q_0$和$\Delta V$代入公式，得到电场力做的功为$W = q_0 \cdot 4k\dfrac{q}{r}$。