题目

4,已知某空间区域的电势为=6x(y)^2+2x(y)^3,求:(1)电场强度;(2)点M(1,1,1)处的电势及其与坐标原点O的电势差

4,已知某空间区域的电势为 $V=6xy^2+2xy^3$ ,求:(1)电场强度;(2)点M(1,1,1)处的电势及其与坐标原点O的电势差

题目解答

答案

给定电势场为 $(V=6xy^2+2xy^3)$ ，我们来计算相关问题：

电场强度：

电场强度 $(\vec{E})$ 可以通过电势函数的梯度来求解：

$[\vec{E}=-\nabla V]$

其中，梯度的各分量分别是：

$[E_x=-\frac{\partial V}{\partial x},\quad E_y=-\frac{\partial V}{\partial y},\quad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}]$

计算各偏导数：

$[\frac{\partial V}{\partial x}=6y^2+2y^3\cdot\frac{\partial x}{\partial x}=6y^2+2y^3\cdot1=6y^2+2y^3]$

$[\frac{\partial V}{\partial y}=12xy+6xy^2\cdot\frac{\partial y}{\partial y}=12xy+6xy^2\cdot1=12xy+6xy^2]$

$[\frac{\partial V}{\partial z}=0]$

因此，电场强度 $(\vec{E})$ 是：

$[ \vec{E} = \left( 6y^2 + 2y^3 \right) \hat{\mathbf{x}} + \left( 12xy + 6xy^2 \right) \hat{\mathbf{y}} ]$

点 M(1,1,1) 处的电势及与坐标原点 O 的电势差：

首先计算点 M 处的电势 ( V(1,1,1) )：

$[V(1,1,1)=6\cdot1\cdot1^2+2\cdot1\cdot1^3=6+2=8]$

坐标原点 O 的电势为 ( V(0,0,0) )：

$[V(0,0,0)=6\cdot0\cdot0^2+2\cdot0\cdot0^3=0]$

电势差 $(\Delta V)$ 是点 M 处电势减去坐标原点处的电势：

$[\Delta V=V(1,1,1)-V(0,0,0)=8-0=8]$

综上所述：

(1) 电场强度为 $( \vec{E} = \left( 6y^2 + 2y^3 \right) \hat{\mathbf{x}} + \left( 12xy + 6xy^2 \right) \hat{\mathbf{y}} ).$

(2) 点 M(1,1,1) 处的电势为 8，与坐标原点 O 的电势差为 8。

解析

步骤 1：计算电场强度
电场强度可以通过电势函数的梯度来求解。给定电势场为$V=6x{y}^{2}+2x{y}^{3}$，电场强度$\vec{E}$的各分量分别是：
${E}_{x}=-\dfrac {\partial V}{\partial x}$
${E}_{y}=-\dfrac {\partial V}{\partial y}$
${E}_{z}=-\dfrac {\partial V}{\partial z}$
计算各偏导数：
$\dfrac {\partial V}{\partial x}=6{y}^{2}+2{y}^{3}$
$\dfrac {\partial V}{\partial y}=12xy+6x{y}^{2}$
$\dfrac {\partial V}{\partial z}=0$
因此，电场强度$\vec{E}$是：
$\vec{E}=-\left(6{y}^{2}+2{y}^{3}\right)\hat{i}-\left(12xy+6x{y}^{2}\right)\hat{j}$
步骤 2：计算点M(1,1,1)处的电势
点M(1,1,1)处的电势$V(1,1,1)$为：
$V(1,1,1)=6\cdot 1\cdot {1}^{2}+2\cdot 1\cdot {1}^{3}=6+2=8$
步骤 3：计算点M(1,1,1)处与坐标原点O的电势差
坐标原点O的电势$V(0,0,0)$为：
$V(0,0,0)=6\cdot 0\cdot {0}^{2}+2\cdot 0\cdot {0}^{3}=0$
电势差$\Delta V$是点M处电势减去坐标原点处的电势：
$\Delta V=V(1,1,1)-V(0,0,0)=8-0=8$