长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行．矩形线圈的边长分别为ab，它到直导线的距离为c(如图)．当直导线中通有电流I=I0sinωt时，求矩形线圈中的感应电动势．

步骤 1：确定磁场的分布
长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，对于距离导线r处的磁场强度B，有
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是导线中的电流，r是到导线的距离。

步骤 2：计算线圈中的磁通量
矩形线圈的面积为ab，线圈到导线的距离为c，因此，线圈中磁通量\(\Phi\)为
\[ \Phi = \int_{c}^{c+b} B \cdot a \, dr = \int_{c}^{c+b} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot a \, dr \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \int_{c}^{c+b} \frac{1}{r} \, dr \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln\left(\frac{c+b}{c}\right) \]

步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势\(\mathcal{E}\)为
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
由于电流I随时间变化为\(I = I_0 \sin(\omega t)\)，因此
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 I_0 a}{2\pi} \ln\left(\frac{c+b}{c}\right) \sin(\omega t) \right) \]
\[ \mathcal{E} = -\frac{\mu_0 I_0 a}{2\pi} \ln\left(\frac{c+b}{c}\right) \omega \cos(\omega t) \]
\[ \mathcal{E} = -\frac{\mu_0 I_0 a \omega}{2\pi} \ln\left(1 + \frac{b}{c}\right) \cos(\omega t) \]