题目
7-16 如习题 7-16 图所示,已知 t=0 时和 t=0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b),波沿x-|||-轴正向传播,试根据图中绘出的条件,求:(1)波动方程;(2)P点的振动方程。-|||-y/m-|||-0.1 (a)-|||-(b)-|||-0 P-|||-1 2 3 、 4 15 x/m-|||--0.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波的振幅、周期和波长
从图中可以看出，波的振幅 $A=0.1m$。在 $t=0$ 时，波形曲线(a)显示波峰位于 $x=0$，波谷位于 $x=2$，因此波长 $\lambda=4m$。在 $t=0.5s$ 时，波形曲线(b)显示波峰位于 $x=2$，波谷位于 $x=4$，因此波速 $v=\dfrac {\lambda}{T}=\dfrac {4}{0.5}=8m/s$，周期 $T=0.5s$。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t-\dfrac {\omega x}{v}+\phi)$，其中 $\omega=\dfrac {2\pi}{T}$，$\phi$ 是初相位。根据 $t=0$ 时的波形曲线(a)，波峰位于 $x=0$，因此初相位 $\phi=\dfrac {\pi}{2}$。将已知的 $A$、$\omega$、$v$ 和 $\phi$ 代入波动方程，得到 $y=0.1\cos(\pi t-\dfrac {\pi x}{2}+\dfrac {\pi}{2})$。
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的坐标为 $(x=1, y)$，将 $x=1$ 代入波动方程，得到 $y=0.1\cos(\pi t-\dfrac {\pi}{2}+\dfrac {\pi}{2})=0.1\cos(\pi t)$，即P点的振动方程为 ${y}_{p}=0.1\cos(\pi t)$。
从图中可以看出，波的振幅 $A=0.1m$。在 $t=0$ 时，波形曲线(a)显示波峰位于 $x=0$，波谷位于 $x=2$，因此波长 $\lambda=4m$。在 $t=0.5s$ 时，波形曲线(b)显示波峰位于 $x=2$，波谷位于 $x=4$，因此波速 $v=\dfrac {\lambda}{T}=\dfrac {4}{0.5}=8m/s$，周期 $T=0.5s$。
步骤 2：确定波动方程
波动方程的一般形式为 $y=A\cos(\omega t-\dfrac {\omega x}{v}+\phi)$，其中 $\omega=\dfrac {2\pi}{T}$，$\phi$ 是初相位。根据 $t=0$ 时的波形曲线(a)，波峰位于 $x=0$，因此初相位 $\phi=\dfrac {\pi}{2}$。将已知的 $A$、$\omega$、$v$ 和 $\phi$ 代入波动方程，得到 $y=0.1\cos(\pi t-\dfrac {\pi x}{2}+\dfrac {\pi}{2})$。
步骤 3：确定P点的振动方程
P点的坐标为 $(x=1, y)$，将 $x=1$ 代入波动方程，得到 $y=0.1\cos(\pi t-\dfrac {\pi}{2}+\dfrac {\pi}{2})=0.1\cos(\pi t)$，即P点的振动方程为 ${y}_{p}=0.1\cos(\pi t)$。