题目
4-32 如图所示,一质量为m的小球由一绳索系着,以角速度w0在无摩擦的水平面上-|||-作半径为r0的圆周运动.如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力F,使小球作半径为 _(0)/2-|||-的圆周运动,试求:(1)小球新的角速度;(2)拉力所做的功.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始条件
小球以角速度 $\omega_0$ 在半径为 $r_0$ 的圆周上运动，其初始角动量为 $L_0 = m r_0^2 \omega_0$。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当绳索被拉紧，小球的运动半径变为 $r_0/2$，由于没有外力矩作用，角动量守恒，即 $L_0 = L_1$，其中 $L_1 = m (r_0/2)^2 \omega_1$。由此可得 $\omega_1 = 4 \omega_0$。
步骤 3：计算拉力所做的功
小球的动能变化量等于拉力所做的功。初始动能为 $E_{k0} = \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2$，最终动能为 $E_{k1} = \frac{1}{2} m (r_0/2)^2 \omega_1^2 = \frac{1}{2} m (r_0/2)^2 (4 \omega_0)^2 = 4 \times \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2$。因此，拉力所做的功为 $W = E_{k1} - E_{k0} = 4 \times \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2 - \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2 = \frac{3}{2} m r_0^2 \omega_0^2$。
小球以角速度 $\omega_0$ 在半径为 $r_0$ 的圆周上运动，其初始角动量为 $L_0 = m r_0^2 \omega_0$。
步骤 2：应用角动量守恒定律
当绳索被拉紧，小球的运动半径变为 $r_0/2$，由于没有外力矩作用，角动量守恒，即 $L_0 = L_1$，其中 $L_1 = m (r_0/2)^2 \omega_1$。由此可得 $\omega_1 = 4 \omega_0$。
步骤 3：计算拉力所做的功
小球的动能变化量等于拉力所做的功。初始动能为 $E_{k0} = \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2$，最终动能为 $E_{k1} = \frac{1}{2} m (r_0/2)^2 \omega_1^2 = \frac{1}{2} m (r_0/2)^2 (4 \omega_0)^2 = 4 \times \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2$。因此，拉力所做的功为 $W = E_{k1} - E_{k0} = 4 \times \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2 - \frac{1}{2} m r_0^2 \omega_0^2 = \frac{3}{2} m r_0^2 \omega_0^2$。