题目
14.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,其上半部均匀分布有电荷量 +Q, 下半部均匀分-|||-布有电荷量 -a, 如图所示,试求圆心O处的电场强度.-|||-±-|||-+Q-|||-R x-|||--Q-|||-第14题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电荷元
取电荷元 $dq=\lambda dl=\dfrac {2Qd\theta }{\pi }$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$dl$ 是线元长度，$d\theta$ 是角度微元。
步骤 2：计算电荷元在圆心处产生的场强
电荷元在圆心处产生的场强大小为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}d\theta$，其中 $r=R$ 是电荷元到圆心的距离。
步骤 3：将场强沿坐标轴分解
将 $dE$ 沿坐标轴分解，有 $d{E}_{x}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$ 和 $d{E}_{y}=-dE\cos \theta =-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。若带负电，与上两式符号相反。
步骤 4：计算总场强
由对称性可知 ${E}_{x}=\int d{x}_{x}=0$，${E}_{y}=-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}({\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta -{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\cos \theta d\theta )=-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 5：写出圆心处的总场强
所以点O的场强为 $E={E}_{x}i+{E}_{y}j=-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}j$。
取电荷元 $dq=\lambda dl=\dfrac {2Qd\theta }{\pi }$，其中 $\lambda$ 是线电荷密度，$dl$ 是线元长度，$d\theta$ 是角度微元。
步骤 2：计算电荷元在圆心处产生的场强
电荷元在圆心处产生的场强大小为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{r}^{2}}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}d\theta$，其中 $r=R$ 是电荷元到圆心的距离。
步骤 3：将场强沿坐标轴分解
将 $dE$ 沿坐标轴分解，有 $d{E}_{x}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$ 和 $d{E}_{y}=-dE\cos \theta =-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。若带负电，与上两式符号相反。
步骤 4：计算总场强
由对称性可知 ${E}_{x}=\int d{x}_{x}=0$，${E}_{y}=-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}({\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}\cos \theta d\theta -{\int }_{\dfrac {\pi }{2}}^{\pi }\cos \theta d\theta )=-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 5：写出圆心处的总场强
所以点O的场强为 $E={E}_{x}i+{E}_{y}j=-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}j$。