题目
一质点作简谐振动，其振动方程为x=6.0times (10)^-2cos(frac (1) (3)pi t-frac (1) (4)pi )(SI)(1)当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？(2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
一质点作简谐振动，其振动方程为$x=6.0\times {10}^{-2}cos(\frac {1} {3}\pi t-\frac {1} {4}\pi )(SI)$
(1)当$x$值为多大时，系统的势能为总能量的一半？
(2)质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？
题目解答
答案
【解析】
(1)简谐振动中系统的动能与势能称为简谐运动的能量$E=\frac {1} {2}k{A}^{2}$，系统的势能为总能量的一半即${E}_{p}=\frac {1} {4}k{A}^{2}=\frac {1} {2}k{x}^{2}$，可知$x=\frac {\sqrt {2}} {2}A=3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$，或$x=-\frac {\sqrt {2}} {2}A=-3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$；
(2)从平衡位置到振幅为$\frac {\sqrt {2}} {2}A$的最短时间为$\frac {\frac {\pi } {4}} {2\pi }T=\frac {T} {8}$，$T=\frac {2\pi } {\frac {\pi } {3}}s=6s$，则最短的时间$t=\frac {6} {8}s=0.75s$。
【答案】
(1)$3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$或$-3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$；(2)$0.75s$。
解析
步骤 1：确定势能为总能量一半时的位移
简谐振动中系统的总能量$E=\frac {1} {2}k{A}^{2}$，其中$k$是弹簧的劲度系数，$A$是振幅。系统的势能为总能量的一半即${E}_{p}=\frac {1} {4}k{A}^{2}=\frac {1} {2}k{x}^{2}$，由此可得$x=\frac {\sqrt {2}} {2}A$或$x=-\frac {\sqrt {2}} {2}A$。
步骤 2：计算$x$值
根据振动方程$x=6.0\times {10}^{-2}cos(\frac {1} {3}\pi t-\frac {1} {4}\pi )$，振幅$A=6.0\times {10}^{-2}m$，因此$x=\frac {\sqrt {2}} {2}A=3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$或$x=-\frac {\sqrt {2}} {2}A=-3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$。
步骤 3：计算最短时间
从平衡位置到振幅为$\frac {\sqrt {2}} {2}A$的最短时间为$\frac {\frac {\pi } {4}} {2\pi }T=\frac {T} {8}$，其中$T$是振动周期。根据振动方程，角频率$\omega=\frac {1} {3}\pi$，因此周期$T=\frac {2\pi } {\omega }=\frac {2\pi } {\frac {1} {3}\pi }=6s$。最短的时间$t=\frac {T} {8}=\frac {6} {8}s=0.75s$。
简谐振动中系统的总能量$E=\frac {1} {2}k{A}^{2}$，其中$k$是弹簧的劲度系数，$A$是振幅。系统的势能为总能量的一半即${E}_{p}=\frac {1} {4}k{A}^{2}=\frac {1} {2}k{x}^{2}$，由此可得$x=\frac {\sqrt {2}} {2}A$或$x=-\frac {\sqrt {2}} {2}A$。
步骤 2：计算$x$值
根据振动方程$x=6.0\times {10}^{-2}cos(\frac {1} {3}\pi t-\frac {1} {4}\pi )$，振幅$A=6.0\times {10}^{-2}m$，因此$x=\frac {\sqrt {2}} {2}A=3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$或$x=-\frac {\sqrt {2}} {2}A=-3\sqrt {2}\times {10}^{-2}m$。
步骤 3：计算最短时间
从平衡位置到振幅为$\frac {\sqrt {2}} {2}A$的最短时间为$\frac {\frac {\pi } {4}} {2\pi }T=\frac {T} {8}$，其中$T$是振动周期。根据振动方程，角频率$\omega=\frac {1} {3}\pi$，因此周期$T=\frac {2\pi } {\omega }=\frac {2\pi } {\frac {1} {3}\pi }=6s$。最短的时间$t=\frac {T} {8}=\frac {6} {8}s=0.75s$。