如图所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为的圆面积范围内的电荷所产生的.试求该圆半径的大小.

步骤 1：计算无限大均匀带电平面的场强
无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为$\overline {E}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}$，其中$\sigma$是电荷面密度，${\varepsilon }_{0}$是真空介电常数。

步骤 2：计算环形面积的电荷量
以图中点为圆心，取半径为$r$到$r+dr$的环形面积，其电量为$dq={\sigma }^{2}2\pi rdr$，其中$\sigma$是电荷面密度，$r$是环形面积的半径，$dr$是环形面积的宽度。

步骤 3：计算环形面积的电荷在距离平面为$a$的一点处产生的场强
环形面积的电荷在距离平面为$a$的一点处产生的场强为$dE=\dfrac {dq}{2{\varepsilon }_{0}{({a}^{2}+{r}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}=\dfrac {\sigma ordr}{2{\varepsilon }_{0}{({a}^{2}+{r}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}$，其中${\varepsilon }_{0}$是真空介电常数，$a$是距离平面的距离，$r$是环形面积的半径，$dr$是环形面积的宽度。

步骤 4：计算半径为$R$的圆面内的电荷在该点的场强
半径为$R$的圆面内的电荷在该点的场强为$E=\int dE=\dfrac {\sigma a}{2{\varepsilon }_{0}}{\int }_{0}^{R}\dfrac {rdr}{{({a}^{2}+{r}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}=\dfrac {\sigma a}{2{\varepsilon }_{0}}[ -\dfrac {1}{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}}] }^{R}=\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(1-\dfrac {a}{\sqrt {{a}^{2}+{R}^{2}}})$，其中$\sigma$是电荷面密度，${\varepsilon }_{0}$是真空介电常数，$a$是距离平面的距离，$R$是圆面的半径。

步骤 5：根据题意求解圆面的半径
由题意令$E=\dfrac {\sigma }{4{\varepsilon }_{0}}$，即$\dfrac {\sigma }{2{\varepsilon }_{0}}(1-\dfrac {a}{\sqrt {{a}^{2}+{R}^{2}}})=\dfrac {\sigma }{4{\varepsilon }_{0}}$，由此得$R=\sqrt {3}a$。