如图所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为的圆面积范围内的电荷所产生的.试求该圆半径的大小.

考查要点：本题主要考查无限大均匀带电平面的电场分布，以及如何通过积分计算有限区域内电荷产生的场强。

解题核心思路：

1. 无限大平面总场强：无限大均匀带电平面的场强公式为 $E_{\text{总}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。
2. 分区域积分：将平面电荷分解为多个同心圆环，计算每个圆环在距离平面 $a$ 处产生的场强，再积分到半径 $R$ 的范围内。
3. 建立方程：根据题意，圆内电荷产生的场强为总场强的一半，通过积分结果建立方程求解 $R$。

破题关键点：

• 对称性简化：利用圆环在轴线上某点的场强公式，仅保留径向分量。
• 变量代换：通过积分变量代换简化计算，最终解出 $R$ 的表达式。

步骤1：总场强与圆内场强关系

无限大平面总场强为：
$E_{\text{总}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
圆内电荷产生的场强为总场强的一半：
$E_{\text{圆}} = \dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}$

步骤2：圆环电荷的场强贡献

取半径为 $r$、厚度为 $dr$ 的圆环，其电荷量为：
$dq = \sigma \cdot 2\pi r \, dr$
该圆环在距离平面 $a$ 处产生的场强为：
$dE = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \dfrac{dq \cdot a}{(a^2 + r^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma a \, dr}{2\varepsilon_0 (a^2 + r^2)^{3/2}}$

步骤3：积分求总场强

将所有圆环场强从 $0$ 积分到 $R$：
$E_{\text{圆}} = \int_0^R dE = \dfrac{\sigma a}{2\varepsilon_0} \int_0^R \dfrac{r \, dr}{(a^2 + r^2)^{3/2}}$

步骤4：变量代换与积分计算

令 $u = a^2 + r^2$，则 $du = 2r \, dr$，积分变为：
$\int \dfrac{r \, dr}{(a^2 + r^2)^{3/2}} = \dfrac{1}{2} \int u^{-3/2} du = -u^{-1/2} + C$
代入上下限得：
$\int_0^R \dfrac{r \, dr}{(a^2 + r^2)^{3/2}} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{\sqrt{a^2 + R^2}}$

步骤5：建立方程求解 $R$

将积分结果代入 $E_{\text{圆}}$ 并令其等于 $\dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}$：
$\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left( 1 - \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + R^2}} \right) = \dfrac{\sigma}{4\varepsilon_0}$
解得：
$$
R = \sqrt{3}a

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