(基础训练25). 一无限长的电缆,由一半径为a的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b、c的圆筒状导线组成,如图所示。在两导线中有等值反向的电流I通过,求: (1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度;(2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度;(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度;(4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

步骤 1：确定磁感应强度的计算方法
使用安培环路定理 $\oint \overrightarrow {B}\cdot d\overrightarrow {l}={\mu }_{0}\sum $ I 求解。磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。其大小满足:
$B2\pi r= {\mu }_{0} I_{L内}$
其中 $r$ 为场点到轴线的距离，$I_{L内}$ 为穿过环路的电流。

步骤 2：计算内导体中任一点(r在内导体中，电流均匀分布，因此通过环路的电流为 $I_{L内} = \frac{I}{\pi a^2} \pi r^2 = \frac{I r^2}{a^2}$
所以，$B2\pi r = {\mu }_{0} \frac{I r^2}{a^2}$
解得：$B = \frac{{\mu }_{0} I r}{2\pi a^2}$

步骤 3：计算两导体间任一点(a在两导体间，电流全部通过环路，因此 $I_{L内} = I$
所以，$B2\pi r = {\mu }_{0} I$
解得：$B = \frac{{\mu }_{0} I}{2\pi r}$

步骤 4：计算外导体中任一点(b在外导体中，电流分布为 $I_{L内} = I - \frac{I}{\pi (c^2 - b^2)} \pi (r^2 - b^2) = I - \frac{I (r^2 - b^2)}{c^2 - b^2}$
所以，$B2\pi r = {\mu }_{0} (I - \frac{I (r^2 - b^2)}{c^2 - b^2})$
解得：$B = \frac{{\mu }_{0} I (c^2 - r^2)}{2\pi r (c^2 - b^2)}$

步骤 5：计算外导体外任一点(r>c)的磁感应强度
在外导体外，电流全部抵消，因此 $I_{L内} = 0$
所以，$B2\pi r = 0$
解得：$B = 0$