题目

用板框过滤机恒压差过滤钛白（(TiO)_2）水悬浮液。过滤机的尺寸为：滤框的边长810mm（正方形），每框厚度42mm，共10个框。现已测得：过滤10min得滤液1.31,(m)^3，再过滤10min共得滤液1.905,(m)^3。已知滤饼体积和滤液体积之比nu=0.1，试计算：(1) 将滤框完全充满滤饼所需的过滤时间；(2) 若洗涤时间和辅助时间共45min，求该装置的生产能力（以每小时得到的滤饼体积计）。[答案：(1) 0.671,(h)；(2) 0.194,(m)^3/(h)]

用板框过滤机恒压差过滤钛白（$\text{TiO}_2$）水悬浮液。过滤机的尺寸为：滤框的边长810mm（正方形），每框厚度42mm，共10个框。现已测得：过滤10min得滤液$1.31\,\text{m}^3$，再过滤10min共得滤液$1.905\,\text{m}^3$。已知滤饼体积和滤液体积之比$\nu=0.1$，试计算：(1) 将滤框完全充满滤饼所需的过滤时间；(2) 若洗涤时间和辅助时间共45min，求该装置的生产能力（以每小时得到的滤饼体积计）。[答案：(1) $0.671\,\text{h}$；(2) $0.194\,\text{m}^3/\text{h}$]

题目解答

答案

1. 根据恒压过滤方程 $V^2 + 2V V_0 = K t$，由已知数据可得： \[ K = 0.2076852, \quad V_0 = 0.1376 \, \text{m}^3 \] 将滤框完全充满滤饼需 $V = 2.75562 \, \text{m}^3$，对应时间： \[ t = \frac{(2.75562)^2 + 2 \times 2.75562 \times 0.1376}{0.2076852} \approx 40.22 \, \text{min} = 0.671 \, \text{h} \] 2. 总循环时间 $T = 85.22 \, \text{min}$，每小时循环次数 $n = 0.704$，生产能力： \[ Q_a = 0.704 \times 0.275562 \approx 0.194 \, \text{m}^3/\text{h} \] 最终结果： (1) $t = 0.671 \, \text{h}$； (2) $Q_a = 0.194 \, \text{m}^3/\text{h}$。

解析

本题主要考察板框过滤机的恒压过滤过程相关知识，解题的关键在于利用恒压过滤方程以及滤饼体积与滤液体积的关系进行计算。

（1）计算将滤框完全充满滤饼所需的过滤时间

  • 步骤一：明确恒压过滤方程
    恒压过滤方程为$V^{2}+2VV_{0}=Kt$，其中$V$为过滤时间$t$内获得的滤液体积，$V_{0}$为过滤介质的当量滤液体积，$K$为过滤常数。
  • 步骤二：根据已知条件列方程
    已知过滤$t_1 = 10\mathrm{min}$得滤液$V_1 = 1.31\mathrm{m}^{3}$，再过滤$10\mathrm{min}$（即$t_2=20\mathrm{min}$）共得滤液$V_2 = 1.905\mathrm{m}^{3}$。
    将$t_1$、$V_1$和$t_2$、$V_2$分别代入恒压过滤方程可得：
    $\begin{cases}V_1^{2}+2V_1V_{0}=Kt_1\\V_2^{2}+2V_2V_{0}=Kt_2\end{cases}$
    即$\begin{cases}1.31^{2}+2\times1.31V_{0}=K\times10\\1.905^{2}+2\times1.905V_{0}=K\times20\end{cases}$
  • 步骤三：求解过滤常数$K$和当量滤液体积$V_{0}$
    由第一个方程可得$K=\frac{1.31^{2}+2\times1.31V_{0}}{10}$，将其代入第二个方程：
    $\begin{align*}1.905^{2}+2\times1.905V_{0}&=\frac{1.31^{2}+2\times1.31V_{0}}{10}\times20\\1.905^{2}+2\times1.905V_{0}&=2\times(1.31^{2}+2\times1.31V_{0})\\3.629025 + 3.81V_{0}&=2\times(1.7161+2.62V_{0})\\3.629025 + 3.81V_{0}&=3.4322 + 5.24V_{0}\\5.24V_{0}-3.81V_{0}&=3.629025 - 3.4322\\1.43V_{0}&=0.196825\\V_{0}&=0.1376\mathrm{m}^{3}\end{align*}$
    将$V_{0}=0.1376\mathrm{m}^{3}$代入$K=\frac{1.31^{2}+2\times1.31V_{0}}{10}$可得：
    $\begin{align*}K&=\frac{1.31^{2}+2\times1.31\times0.1376}{10}\\&=\frac{1.7161+0.359152}{10}\\&=\frac{2.075252}{10}\\&=0.2076852\mathrm{m}^{2}/\mathrm{min}\end{align*}$
  • 步骤四：计算滤框完全充满滤饼时的滤液体积$V$
    滤框的边长$a = 810\mathrm{mm}=0.81\mathrm{m}$，每框厚度$l = 42\mathrm{mm}=0.042\mathrm{m}$，共$n = 10$个框。
    滤饼总体积$V_{饼}=n\times a^{2}\times l=10\times0.81^{2}\times0.042 = 0.275562\mathrm{m}^{3}$。
    已知滤饼体积和滤液体积之比$\nu = 0.1$，由$\nu=\frac{V_{饼}}{V}$可得$V=\frac{V_{饼}}{\nu}=\frac{0.275562}{0.1}=2.75562\mathrm{m}^{3}$。
  • 步骤五：计算将滤框完全充满滤饼所需的过滤时间$t$
    将$V = 2.75562\mathrm{m}^{3}$，$V_{0}=0.1376\mathrm{m}^{3}$，$K = 0.2076852\mathrm{m}^{2}/\mathrm{min}$代入恒压过滤方程$V^{2}+2VV_{0}=Kt$可得：
    $\begin{align*}t&=\frac{V^{2}+2VV_{0}}{K}\\&=\frac{2.75562^{2}+2\times2.75562\times0.1376}{0.2076852}\\&=\frac{7.5935 + 0.7593}{0.2076852}\\&=\frac{8.3528}{0.2076852}\\&\approx40.22\mathrm{min}\\&=40.22\div60\approx0.671\mathrm{h}\end{align*}$

（2）计算该装置的生产能力

  • 步骤一：计算总循环时间$T$
    已知洗涤时间和辅助时间共$t_{洗 + 辅}=45\mathrm{min}$，过滤时间$t = 40.22\mathrm{min}$，则总循环时间$T=t + t_{洗 + 辅}=40.22+45 = 85.22\mathrm{min}$。
  • 步骤二：计算每小时循环次数$n$
    每小时循环次数$n=\frac{60}{T}=\frac{60}{85.22}\approx0.704$次/小时。
  • 步骤三：计算生产能力$Q_{a}$
    生产能力$Q_{a}=n\times V_{饼}=0.704\times0.275562\approx0.194\mathrm{m}^{3}/\mathrm{h}$。