题目
天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ）A. 0.001倍B. 0.1倍C. 10倍D. 1000倍
天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ）
- A. 0.001倍
- B. 0.1倍
- C. 10倍
- D. 1000倍
题目解答
答案
解：设日地距离为r1，则行星GJ1002c的轨道r2=0.07r1
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{太}M}{{r}_{1}^{2}}=M{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$
行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{红}m}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
联立解得$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}=（{\frac{0.07{r}_{1}}{{r}_{1}}）}^{3}×（\frac{1}{0.06}）^{2}≈0.1$
即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。
综上分析，故ACD错误，B正确。
故选：B。
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{太}M}{{r}_{1}^{2}}=M{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$
行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力$G\frac{{M}_{红}m}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$
联立解得$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}=（{\frac{0.07{r}_{1}}{{r}_{1}}）}^{3}×（\frac{1}{0.06}）^{2}≈0.1$
即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。
综上分析，故ACD错误，B正确。
故选：B。
解析
步骤 1：地球绕太阳做匀速圆周运动
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，可以得到地球绕太阳运动的方程$G\frac{{M}_{太}M}{{r}_{1}^{2}}=M{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$，其中$M_{太}$是太阳的质量，$M$是地球的质量，$r_1$是日地距离，$T_1$是地球绕太阳的周期。
步骤 2：行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动
行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，可以得到行星GJ1002c绕红矮星运动的方程$G\frac{{M}_{红}m}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$，其中$M_{红}$是红矮星的质量，$m$是行星GJ1002c的质量，$r_2$是行星GJ1002c的轨道半径，$T_2$是行星GJ1002c绕红矮星的周期。
步骤 3：联立解得红矮星质量与太阳质量的比值
联立步骤1和步骤2的方程，可以解得红矮星质量与太阳质量的比值$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}$，代入$r_2=0.07r_1$和$T_2=0.06T_1$，可以得到$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{0.07{r}_{1}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{1}{0.06}）^{2}≈0.1$。
地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，可以得到地球绕太阳运动的方程$G\frac{{M}_{太}M}{{r}_{1}^{2}}=M{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$，其中$M_{太}$是太阳的质量，$M$是地球的质量，$r_1$是日地距离，$T_1$是地球绕太阳的周期。
步骤 2：行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动
行星GJ1002c绕红矮星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，可以得到行星GJ1002c绕红矮星运动的方程$G\frac{{M}_{红}m}{{r}_{2}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$，其中$M_{红}$是红矮星的质量，$m$是行星GJ1002c的质量，$r_2$是行星GJ1002c的轨道半径，$T_2$是行星GJ1002c绕红矮星的周期。
步骤 3：联立解得红矮星质量与太阳质量的比值
联立步骤1和步骤2的方程，可以解得红矮星质量与太阳质量的比值$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}$，代入$r_2=0.07r_1$和$T_2=0.06T_1$，可以得到$\frac{{M}_{红}}{{M}_{太}}=（\frac{0.07{r}_{1}}{{r}_{1}}）^{3}×（\frac{1}{0.06}）^{2}≈0.1$。