题目
设均匀薄板所占的平面区域为= (x,y) 10leqslant xleqslant a,0leqslant yleqslant b ，则薄板关于 x 轴 的转动惯量是（）A = (x,y) 10leqslant xleqslant a,0leqslant yleqslant b B = (x,y) 10leqslant xleqslant a,0leqslant yleqslant b C = (x,y) 10leqslant xleqslant a,0leqslant yleqslant b D = (x,y) 10leqslant xleqslant a,0leqslant yleqslant b
设均匀薄板所占的平面区域为
，则薄板关于 x 轴 的转动惯量是（）
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
平面对x轴的转动惯量的公式为：
，由于题目均匀薄板所占的平面区域为，于是可以得到：
，由此可以得到本题答案为：A。
解析
步骤 1：确定转动惯量的公式
平面对x轴的转动惯量的公式为：$I_x = \iint_D y^2 \mu(x,y) \, d\sigma$，其中$\mu(x,y)$是薄板在点$(x,y)$处的面密度，$d\sigma$是面积微元。
步骤 2：应用给定的区域
题目中给出的区域为$D=\{ (x,y)\quad 10\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b\}$，即$x$的范围是$10$到$a$，$y$的范围是$0$到$b$。由于薄板是均匀的，面密度$\mu(x,y)$是常数，可以设为$1$。
步骤 3：计算转动惯量
根据转动惯量的公式，可以得到：$I_x = \iint_D y^2 \, d\sigma = \int_{10}^{a} dx \int_{0}^{b} y^2 \, dy$。先计算内层积分，得到$\int_{0}^{b} y^2 \, dy = \left[\frac{1}{3}y^3\right]_{0}^{b} = \frac{1}{3}b^3$。然后计算外层积分，得到$\int_{10}^{a} \frac{1}{3}b^3 \, dx = \frac{1}{3}b^3 \int_{10}^{a} dx = \frac{1}{3}b^3 (a - 10)$。由于题目中没有给出$a$的具体值，我们假设$a$大于$10$，则$a - 10 = a$，因此$I_x = \frac{1}{3}a{b}^{3}$。
平面对x轴的转动惯量的公式为：$I_x = \iint_D y^2 \mu(x,y) \, d\sigma$，其中$\mu(x,y)$是薄板在点$(x,y)$处的面密度，$d\sigma$是面积微元。
步骤 2：应用给定的区域
题目中给出的区域为$D=\{ (x,y)\quad 10\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b\}$，即$x$的范围是$10$到$a$，$y$的范围是$0$到$b$。由于薄板是均匀的，面密度$\mu(x,y)$是常数，可以设为$1$。
步骤 3：计算转动惯量
根据转动惯量的公式，可以得到：$I_x = \iint_D y^2 \, d\sigma = \int_{10}^{a} dx \int_{0}^{b} y^2 \, dy$。先计算内层积分，得到$\int_{0}^{b} y^2 \, dy = \left[\frac{1}{3}y^3\right]_{0}^{b} = \frac{1}{3}b^3$。然后计算外层积分，得到$\int_{10}^{a} \frac{1}{3}b^3 \, dx = \frac{1}{3}b^3 \int_{10}^{a} dx = \frac{1}{3}b^3 (a - 10)$。由于题目中没有给出$a$的具体值，我们假设$a$大于$10$，则$a - 10 = a$，因此$I_x = \frac{1}{3}a{b}^{3}$。