题目

[题目]-|||-(20分)一质量为2kg的质点,在xy 平面上运动,-|||-受到外力 =4i-24(t)^2j(SI) 的作用, t=0 时,它的-|||-初速度为 _(0)=3i+4j(SI), 求 t=1s 时质点的速度及-|||-受到的法向力Fn。

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查变力作用下质点的速度积分，以及自然坐标系中法向力的计算。

解题核心思路：

  1. 牛顿第二定律：利用$\overrightarrow{F}=m\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}$，将外力分解为$i$和$j$方向，分别积分求速度。
  2. 初始条件：代入$t=0$时的初速度确定积分常数。
  3. 法向力：在自然坐标系中，法向力是外力在垂直速度方向的分量。当速度方向为$i$时，法向方向为$j$，直接取外力的$j$分量。

破题关键点：

  • 分量积分：对$i$和$j$方向分别积分，注意积分常数由初速度确定。
  • 速度方向与法向力的关系：速度方向即切向方向，法向力为外力在垂直方向的分量。

求速度$\overrightarrow{v}(t)$

  1. 根据牛顿第二定律列方程
    由$\overrightarrow{F}=m\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}$，得：
    $\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \dfrac{\overrightarrow{F}}{m} = \dfrac{4}{2}i - \dfrac{24t^2}{2}j = 2i - 12t^2j$

  2. 分量积分

    • $i$方向：$\dfrac{dv_x}{dt} = 2 \implies v_x = \int 2 dt = 2t + C_1$
    • $j$方向：$\dfrac{dv_y}{dt} = -12t^2 \implies v_y = \int -12t^2 dt = -4t^3 + C_2$

  3. 代入初始条件
    当$t=0$时，$\overrightarrow{v}_0 = 3i + 4j$，得：
    $C_1 = 3, \quad C_2 = 4$

  4. 速度表达式
    $\overrightarrow{v}(t) = (3 + 2t)i + (4 - 4t^3)j$

  5. 代入$t=1$
    $\overrightarrow{v}(1) = (3 + 2 \cdot 1)i + (4 - 4 \cdot 1^3)j = 5i + 0j = 5i$

求法向力$F_n$

  1. 确定速度方向
    当$t=1$时，$\overrightarrow{v}=5i$，切向方向为$i$，法向方向为$j$。

  2. 分解外力
    外力$\overrightarrow{F}=4i -24t^2j$，代入$t=1$：
    $\overrightarrow{F}(1) = 4i -24 \cdot 1^2j = 4i -24j$

  3. 法向分量
    法向力为外力在$j$方向的分量：
    $F_n = -24 \, \text{N}$