题目
一链条总长为l,质量为m,放在桌面上,并使其下垂到桌面一侧的长度为 (agt dfrac (mu )(mu +1)), 如图 -12(g) 所-|||-示.设链条与桌面之间的滑动摩擦因数为μ,链条由静止开始运动,链条质量均匀分布,问:-|||-(1)链条从开始运动到链条全部离开桌面的过程中摩擦力做了多少功?-|||-(2)链条离开桌面时的速率是多少?-|||-l-a-|||-9分%-|||-ǒ-|||-a-|||-ǒ-|||-0-|||-3-|||-3-|||-yx-|||-(a) (b)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定摩擦力的大小
链条在桌面上的长度为 $l-x$，其中 $x$ 是链条下垂的长度。因此，摩擦力的大小为 $F=\mu \dfrac {m}{l}(l-x)g$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$m$ 是链条的总质量，$l$ 是链条的总长度，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：计算摩擦力做的功
摩擦力的方向与位移方向相反，因此摩擦力做的功为 $A=\int F\cdot dx={\int }_{a}^{l}-\mu \dfrac {m}{l}(l-x)gdx$。计算这个积分，得到 $A=-\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 3：应用功能原理
以链条和地球作为系统，取坐标原点为重力势能的零点。设链条离开桌面时的速率为 $v$，应用功能原理，得 $A=({E}_{k}+{E}_{p})-({E}_{kD}+{E}_{p0})$。其中 ${E}_{kO}=0$，${E}_{m0}=-\dfrac {m}{l}ag\dfrac {a}{2}=-\dfrac {mg{a}^{2}}{2l}$，${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，${E}_{p}=-mg\dfrac {l}{2}$。将这些值代入功能原理的方程中，解得链条离开桌面时的速率为 $v=\sqrt {\dfrac {[ {l}^{2}-{a}^{2}-\mu {(l-a)}^{2}] g}}{l}$。
链条在桌面上的长度为 $l-x$，其中 $x$ 是链条下垂的长度。因此，摩擦力的大小为 $F=\mu \dfrac {m}{l}(l-x)g$，其中 $\mu$ 是摩擦因数，$m$ 是链条的总质量，$l$ 是链条的总长度，$g$ 是重力加速度。
步骤 2：计算摩擦力做的功
摩擦力的方向与位移方向相反，因此摩擦力做的功为 $A=\int F\cdot dx={\int }_{a}^{l}-\mu \dfrac {m}{l}(l-x)gdx$。计算这个积分，得到 $A=-\dfrac {\mu mg}{2l}{(l-a)}^{2}$。
步骤 3：应用功能原理
以链条和地球作为系统，取坐标原点为重力势能的零点。设链条离开桌面时的速率为 $v$，应用功能原理，得 $A=({E}_{k}+{E}_{p})-({E}_{kD}+{E}_{p0})$。其中 ${E}_{kO}=0$，${E}_{m0}=-\dfrac {m}{l}ag\dfrac {a}{2}=-\dfrac {mg{a}^{2}}{2l}$，${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}$，${E}_{p}=-mg\dfrac {l}{2}$。将这些值代入功能原理的方程中，解得链条离开桌面时的速率为 $v=\sqrt {\dfrac {[ {l}^{2}-{a}^{2}-\mu {(l-a)}^{2}] g}}{l}$。