题目
如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。求此螺绕环的自感系数;(2)沿环的轴线拉一根直导-|||-线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21,二者是否-|||-相等?-|||-上-|||-R-|||-R2
如图所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。
题目解答
答案
由上面的式子可知
M21=M12
解析
步骤 1：计算螺绕环的自感系数
螺绕环的自感系数可以通过计算电流为I时环截面积的磁通量来求得。根据安培环路定理，环形螺线管内部的磁场强度为：$B = \dfrac{{\mu_0}NI}{2\pi r}$，其中${\mu_0}$是真空磁导率，N是螺绕环的总匝数，I是电流，r是环的半径。环形螺线管的磁通量为：$\phi = B \times A = \dfrac{{\mu_0}NI}{2\pi r} \times h \times (R_2 - R_1)$，其中A是环的截面积，h是环的厚度，$R_1$和$R_2$分别是环的内半径和外半径。因此，自感系数为：$L = \dfrac{\phi}{I} = \dfrac{{\mu_0}N^2h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 2：计算直导线与螺绕环的互感系数M12
直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕环通电流I1时，通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链。因此，互感系数M12为：${M}_{12} = \dfrac{{\psi}_{12}}{{I}_{1}} = \dfrac{{\mu_0}NI_1h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：计算直导线与螺绕环的互感系数M21
当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为：${B}_{2} = \dfrac{{\mu_0}I_2}{2\pi r}$。通过螺绕环截面积的磁通量为：${\phi}_{21} = \int_{R_1}^{R_2} B_2 \times h \times dr = \dfrac{{\mu_0}I_2h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。因此，互感系数M21为：${M}_{21} = \dfrac{{\psi}_{21}}{{I}_{2}} = \dfrac{{\mu_0}Nh}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 4：比较互感系数M12和M21
由上面的式子可知，${M}_{12} = {M}_{21}$，二者相等。
螺绕环的自感系数可以通过计算电流为I时环截面积的磁通量来求得。根据安培环路定理，环形螺线管内部的磁场强度为：$B = \dfrac{{\mu_0}NI}{2\pi r}$，其中${\mu_0}$是真空磁导率，N是螺绕环的总匝数，I是电流，r是环的半径。环形螺线管的磁通量为：$\phi = B \times A = \dfrac{{\mu_0}NI}{2\pi r} \times h \times (R_2 - R_1)$，其中A是环的截面积，h是环的厚度，$R_1$和$R_2$分别是环的内半径和外半径。因此，自感系数为：$L = \dfrac{\phi}{I} = \dfrac{{\mu_0}N^2h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 2：计算直导线与螺绕环的互感系数M12
直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕环通电流I1时，通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链。因此，互感系数M12为：${M}_{12} = \dfrac{{\psi}_{12}}{{I}_{1}} = \dfrac{{\mu_0}NI_1h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 3：计算直导线与螺绕环的互感系数M21
当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为：${B}_{2} = \dfrac{{\mu_0}I_2}{2\pi r}$。通过螺绕环截面积的磁通量为：${\phi}_{21} = \int_{R_1}^{R_2} B_2 \times h \times dr = \dfrac{{\mu_0}I_2h}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。因此，互感系数M21为：${M}_{21} = \dfrac{{\psi}_{21}}{{I}_{2}} = \dfrac{{\mu_0}Nh}{2\pi} \ln \dfrac{R_2}{R_1}$。
步骤 4：比较互感系数M12和M21
由上面的式子可知，${M}_{12} = {M}_{21}$，二者相等。